Giả sử ta có $n$ số $u_1,u_1+d, \ldots, u_1+(n-1)d$ là CSC thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Theo giả thiết
$u_1+u_2+u_3+u_4=40\implies 4u_1+6d=40 \implies 2u_1+3d=20 \qquad (1)$
$u_1+(n-1)d+u_1+(n-2)d+u_1+(n-3)d+u_1+(n-4)d=104\implies 4u_1+(4n-10)d=104$
$\implies 2u_1+(2n-5)d=52 \qquad (2)$
 $u_1+u_2+\ldots+u_n=216\implies\dfrac{[2u_1+(n-1)d]n}{2}=216\implies[2u_1+(n-1)d]n=432 \qquad (3)$
 Trừ $(2)$ cho $(1)$ ta được $(2n-8)d=32\Rightarrow (n-4)d=16\Rightarrow 2u_1+(n-1)d=2u_1+3d+16=36$, (theo $(1)$)
Thay điều trên vào $(3)$ ta được $36n=432\Rightarrow n=12$
Thay vào $(2)$ và kết hợp với $(1)$ ta được
$\begin{cases}2u_1+3d=20 \\ 2u_1+19d=52 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}d=2 \\ u_1=7 \end{cases}$
Vậy $12$ số cần tìm là  $7,9,11,\ldots,29$

Gọi 5 số này là $u_1, u_1+d, u_1+2d,u_1+3d,u_1+4d$
Theo đè bài ta có
      $\begin{cases}u_1+u_1+d+ u_1+2d+ u_1+3d+u_1+4d=25 \\u^2_1+(u_1+d)^2+( u_1+2d)^2+ (u_1+3d)^2+(u_1+4d)^2=165 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}5u_1+10d=25 \\5u^2_1+20u_1d+30d^2=165 \end{cases}$
 $\Leftrightarrow \begin{cases}u_1+2d=5 \\u^2_1+4u_1d+ 6d^2=33 \end{cases}$
 $\Leftrightarrow \begin{cases}u_1=5-2d \\(5-2d)^2+4d(5-2d)+6d^2=33 \end{cases}$
 $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} d=2, u_1=1\\ d=-2, u_1=9 \end{matrix}} \right.$
 Vậy có hai CSC thỏa mãn bài toán
$1,3,5,7,9$
$9,7,5,3,1$

Gọi bốn số này là $u_1, u_1+d, u_1+2d,u_1+3d$
Theo đè bài ta có
      $\begin{cases}u_1+u_1+d+ u_1+2d+ u_1+3d=22 \\u^2_1+(u_1+d)^2+( u_1+2d)^2+ (u_1+3d)^2=166 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}4u_1+6d=22 \\4u^2_1+12u_1d+14d^2=166 \end{cases}$
 $\Leftrightarrow \begin{cases}2u_1+3d=11 \\4u^2_1+12u_1d+14d^2=166 \end{cases}$
 $\Leftrightarrow \begin{cases}2u_1=11-3d \\(11-3d)^2+6d(11-3d)+14d^2=166 \end{cases}$
 $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} d=3, u_1=1\\ d=-3, u_1=10 \end{matrix}} \right.$
 Vậy có hai CSC thỏa mãn bài toán
$1,4,7,10$
$10,7,4,1$

Chứng minh dãy số bị chặn
Ta cần chứng tỏ $U_n$ bị chặn trên và bị chặn dưới
Hiển nhiên thấy $n \ge 1 \Rightarrow 2n-1 \ge 1 > 0 \Rightarrow U_n= \dfrac{2n-1}{n+2}>0$.
Mặt khác ta có $\dfrac{3}{n+2}>0\quad \forall n \ge 1$ suy ra
$U_n = 2-\dfrac{3}{n+2}<2$
Như vậy dãy số trên bị chặn dưới bởi $0$ và chặn trên bởi $2$. Tóm lại nó bị chặn và suy ra đpcm.

Chứng minh dãy tăng
Viết lại biểu thức cho dãy số
$U_n = \dfrac{2n-1}{n+2} = \dfrac{2n+4-3}{n+2}=2-\dfrac{3}{n+2}$
Suy ra $U_{n+1} = 2-\dfrac{3}{n+3}$
 Ta có
 $U_{n+1} -U_{n} =\dfrac{3}{n+2}-\dfrac{3}{n+3}=\dfrac{3}{(n+2)(n+3)}>0 \quad \forall n \ge 1.$
 Vậy $U_n$ là dãy tăng.

2b) Theo câu a) ta có
$\begin{cases}V_{n}-V_{n-1}=1 \\V_{n-1}-V_{n-2}=1\\ \cdots\\V_{2}-V_{1}=1\\V_1=U_{2}-U_{1}=2-1=1\end{cases}$
Cộng theo từng vế của $n$ đẳng thức này ta được $\quad V_{n}=n \quad \forall n.$
Ta lại có
$\begin{cases}U_{n}-U_{n-1}=V_{n-1}=n-1 \\U_{n-1}-U_{n-2}=V_{n-2}=n-2\\ \cdots\\U_{2}-U_{1}=V_{1}=1\\U_{1}=1\end{cases}$
Cộng theo từng vế của $n$ đẳng thức này ta được
$\quad U_{n}=1+1+2+\ldots+n-2+n-1=1+\dfrac{(n-1)n}{2}=\dfrac{(n-1)n+2}{2} \quad \forall n.$

2a)
Ta xét biểu thức $V_{n+1}-V_n \quad \forall n \ge 1$
Ta có
$V_{n+1}-V_n = (U_{n+2}-U_{n+1})-(U_{n+1}-U_n)=U_{n+2}-2U_{n+1}+U_{n}=1$
Vì theo định nghĩa của dãy số $U_n$ thì $U_{n+2}=2U_{n+1}-U_{n}+1$.
Vậy $V_{n+1}-V_n=1\quad \forall n \ge 1$
Theo định nghĩa của cấp số cộng ta có đpcm.

1
Ta có
$u_1+u_2+u_3+u_4+u_5=S_5=u_1.\dfrac{1-q^5}{1-q}=121$
Và $82=u_1+u_5=u_1(1+q^4)$
Suy ra $\dfrac{121}{82}=\dfrac{1-q^5}{(1-q)(1+q^4)}$
$\Leftrightarrow \dfrac{121}{82}-\dfrac{1-q^5}{(1-q)(1+q^4)}=0$
Quy đồng , rút gọn và phân tích đa thức thành nhân tử ta được
$\Leftrightarrow (q-3)(3q-1)(13q^2+16q+13)=0$
$\Leftrightarrow q=3$ hoặc $q=1/3.$
Với $q=3 \Rightarrow u_1=\dfrac{82}{1+3^4}=1$
Với $q=1/3 \Rightarrow u_1=\dfrac{82}{1+(1/3)^4}=81$
 Vậy có hai cấp số nhân thỏa mãn
$1,3,9,27,81$
$81,27,9,3,1$

Dễ kiểm tra rằng $x=1$ không phải là nghiệm của PT. Vì vậy ta có thể xét $x-1 \ne 0$.
Nhân hai vế của PT này với $x-1$ ta được PT
$\Leftrightarrow (x-1)(x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} +x +1)=0$
$\Leftrightarrow x^7-1=0$           ( hằng đẳng thức cho vế trái )
$\Leftrightarrow x^7=1$
 $\Leftrightarrow x=1$, vô lý.
Vậy PT đã cho vô nghiệm.

Dễ kiểm tra rằng $x=1$ không phải là nghiệm của PT. Vì vậy ta có thể xét $x-1 \ne 0$.
Nhân hai vế của PT này với $x-1$ ta được PT
$\Leftrightarrow (x-1)(x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} +x +1)=0$
$\Leftrightarrow x^7-1=0$           ( hằng đẳng thức cho vế trái )
$\Leftrightarrow x^7=1$
 $\Leftrightarrow x=1$, vô lý.
Vậy PT đã cho vô nghiệm.

b

c