Từ điều kiện bài toán suy ra
$\frac{1}{x+1}=1-\frac{1}{y+1}+1-\frac{1}{z+1}=\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{yz}{(y+1)(z+1)}}$
Tương tự:
$\frac{1}{y+1}\ge2\sqrt{\frac{xz}{(x+1)(z+1)}}$
$\frac{1}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{xy}{(x+1)(y+1)}}$
Nhân $3$ BĐT và rút gọn ta được  ta được: $xyz\le\frac{1}{8}$, đpcm.
Đẳng thức xảy ra  $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}$

Em xem tại đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/115555/cap-so-nhan

b)  Đặt $(C_1): y=\left| {x^2-1} \right|, \quad(C_2): y=|x|+5$
Vì các hàm số trên đều là hàm chẵn với $x$ nên các đồ thị này có trục đối xứng là trục tung. Ta có thể thấy rằng theo tính chất đối xứng thì diện tích cần tìm bằng hai lần diện tích nằm ở góc phần tư thứ nhất, tức là với $x \ge 0.$
Khi đó chỉ cần xét $S' : (C'_1): y=\left| {x^2-1} \right|, \quad(C'_2): y=x+5$
Ta có:
$(C'_1) \cap (C'_2) :\left| {x^2-1} \right|=x+5 \Leftrightarrow (x^2-1)^2=(x+5)\Leftrightarrow (x^2+x+4)(x^2-x-6)=0\Leftrightarrow x=3$
$(C'_1) \cap (Ox) : x^2-1=0 \Leftrightarrow x=1$
Suy ra
$S=2S'=2\int\limits_{0}^{1}\left[ {(x+5)-(1-x^2)} \right]dx+2\int\limits_{1}^3\left[ {(x+5)-(x^2-1)} \right]dx$
    $=2\int\limits_{0}^{1}(x^2+x+4)dx-2\int\limits_{1}^3(x^2-x-6)dx$
    $=\dfrac{29}{3} +\dfrac{44}{3} =\dfrac{73}{3} $

b)

a)

b, Đặt $(C_1): y=x^2, \quad(C_2): y=4x^2, \quad(C_3): y=4, \quad$
Ta có:
$(C_1) \cap (C_2) : x^2=4x^2 \Leftrightarrow x=0$
$(C_3) \cap (C_2) : 4=4x^2 \Leftrightarrow x=\pm 1$
$(C_1) \cap (C_3) : x^2=4 \Leftrightarrow x=\pm2$
Để minh họa rõ ràng bạn nên vẽ đồ thị của ba hàm số này. Ta có thể thấy rằng theo tính chất đối xứng thì diện tích cần tìm bằng hai lần diện tích nằm ở góc phần tư thứ nhất.
$S=2\int\limits_{0}^{1}\left| { x^2-4x^2} \right|dx+2\int\limits_{1}^2\left| { 4-x^2} \right|dx$
    $=2\int\limits_{0}^{1}3x^2dx+2\int\limits_{1}^2(4-x^2)dx$
    $=2 +\dfrac{10}{3} =\dfrac{16}{3} $

a) Viết lại $\begin{cases}x=y^2 \\ x=-y+2 \end{cases}$
Giải PT $ y^2=2-y\Leftrightarrow y^2+y-2=0\Leftrightarrow  y=1$, do $y=\sqrt x \ge 0.$
Kết hợp với $y=0$ ta có
$S=\int\limits_{0}^{1}\left| {(y^2)-(-y+2)} \right|dy=\int\limits_{0}^{1}\left| {y^2+y-2} \right|dy=-\int\limits_{0}^{1}(y^2+y-2)dy=\dfrac{7}{6}$

b, Đặt $(C_1): y=x^2, \quad(C_2): y=x^2/8, \quad(C_3): y=8/x, \quad$
Ta có:
$(C_1) \cap (C_2) : x^2=x^2/8 \Leftrightarrow x=0$
$(C_3) \cap (C_2) : 8/x=x^2/8 \Leftrightarrow x=4$
$(C_1) \cap (C_3) : x^2=8/x \Leftrightarrow x=2$
Diện tích hình cần tìm là:
$S=\int\limits_{0}^{2}\left| { x^2-x^2/8} \right|dx+\int\limits_{2}^4\left| { 8/x-x^2/8} \right|dx$
    $=\int\limits_{0}^{2}7x^2/8dx+\int\limits_{2}^4(8/x-x^2/8)dx$
    $=\dfrac{7}{3} +8\ln 2-\dfrac{7}{3} =8\ln 2$

b) Viết lại $\begin{cases}x=y^2 \\ x=-y+2 \end{cases}$
Giải PT $ y^2=2-y\Leftrightarrow y^2+y-2=0\Leftrightarrow  y=1$, do $y=\sqrt x \ge 0.$
Kết hợp với $y=0$ ta có
$S=\int\limits_{0}^{1}\left| {(y^2)-(-y+2)} \right|dy=\int\limits_{0}^{1}\left| {y^2+y-2} \right|dx=-\int\limits_{0}^{1}(y^2+y-2)dy=\dfrac{7}{6}$

a) Viết lại $\begin{cases}x=y^2-1 \\ x=-y+1 \end{cases}$
Giải PT $y^2-1=-y+1\Leftrightarrow y=-2$ hoặc $y=1.$
$S=\int\limits_{-2}^{1}\left| {(y^2-1)-(-y+1} \right|dy=\int\limits_{-2}^{1}\left| {y^2+y-2} \right|dx=-\int\limits_{-2}^{1}(y^2+y-2)dy=\dfrac{9}{2}$

b)
Giải PT $x^3/3=x^2\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=3.$
$S=\int\limits_{0}^{0}\left| {\dfrac{x^3}{3}-x^2} \right|dx=\int\limits_{0}^{3}x^2\left| {\dfrac{x}{3}-1} \right|dx=-\int\limits_{0}^{3}x^2( \dfrac{x}{3}-1)dx=\dfrac{9}{4}$

a)
Giải PT $x^2-4x+6=-x^2-2x+6\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=1.$
$S=\int\limits_{0}^{1}\left| {(x^2-4x+6)-(-x^2-2x+6)} \right|dx=2\int\limits_{0}^{1}\left| {x(x-1)} \right|dx=-2\int\limits_{0}^{1}( x(x-1))dx=\dfrac{1}{3}$

b)
Ta có $2x^3+3x^2-1=0\Leftrightarrow (x+1)^2(2x-1)=0\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=1/2.$
Suy ra
$S=\int\limits_{-1}^{1/2}\left| {2x^3+3x^2-1} \right|dx=\int\limits_{-1}^{1/2} (x+1)^2\left| {2x-1} \right|dx$
$=-\int\limits_{-1}^{1/2} (x+1)^2(2x-1) dx=-\int\limits_{-1}^{1/2} (2x^3+3x^2-1)dx=\dfrac{27}{32}$

a) Kí hiệu $(C): y^2=2x+1\Rightarrow (C) : x=\dfrac{y^2-1}{2}$
$(D): y=x-1\Rightarrow x=y+1$
$(C) \cap (D) : \dfrac{y^2-1}{2}=y+1\Leftrightarrow y^2-2y-3=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=0,y=-1\\ x=4,y=3 \end{matrix}} \right.$
$(C) \cap (Ox) : y=0\Rightarrow x=-1/2$
 Do đó
$S=\int\limits_{-1}^{3}\left| {\dfrac{y^2-1}{2}-(y+1)} \right|dy=\dfrac{1}{2}\int\limits_{-1}^{3}\left| {y^2-2y-3} \right|dy=\dfrac{16}{3}(đvdt)$

Tích phân xác định thì có kết quả là một số, nó khác với nguyên hàm là kết quả là một hàm số.
Vì thế khi thay đổi biến số thì giá trị tích phân không thay đổi. Tức là
$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx = \int\limits_{a}^{b}f(t)dt =\int\limits_{a}^{b}f(u)du =\ldots$
Chẳng hạn
$\int\limits_{0}^{1}(x^2+1)dx =\left[ {\dfrac{1}{3}x^3+x} \right]_{0}^{1}=\dfrac{4}{3}$
$\int\limits_{0}^{1}(t^2+1)dt =\left[ {\dfrac{1}{3}t^3+t} \right]_{0}^{1}=\dfrac{4}{3}$
 $\int\limits_{0}^{1}(u^2+1)du =\left[ {\dfrac{1}{3}u^3+u} \right]_{0}^{1}=\dfrac{4}{3}$
$\ldots$
 Từ đây lý giải được biểu thức đó.