Áp dụng công thức
$\cot x - \cot 2x  =\dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}=\dfrac{2\cos^2 x}{\sin 2x}-\dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}=\dfrac{1}{\sin 2x}$
Ta có
$\dfrac{1}{\sin 2x}=\cot x - \cot 2x  $
$\dfrac{1}{\sin 4x}=\cot 2x - \cot 4x  $
$\cdots$
$\dfrac{1}{\sin 2^{n-1}x}=\cot 2^{n-2}x - \cot 2^{n-1}x  $
$\dfrac{1}{\sin 2^nx}=\cot 2^{n-1}x - \cot 2^{n}x  $
 Cộng theo từng vế các đẳng thức này và rút gọn các hạng tử đồng dạng ta được
$\dfrac{1}{\sin 2x}+\dfrac{1}{\sin 4x}+\ldots+\dfrac{1}{\sin 2^nx}=\cot x - \cot 2^{n}x  $
 Từ đây có đpcm.

Em xem phần b) tại đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/115340/giup-voi

Áp dụng công thức
$2\sin a \cos b = \sin(b+a)-\sin(b-a)$
Ta có
$2\sin \dfrac{x}{2}=2\sin \dfrac{x}{2}$
$2\sin \dfrac{x}{2}\cos x= \sin \dfrac{3x}{2}-\sin \dfrac{x}{2}$
$2\sin \dfrac{x}{2}\cos 2x= \sin \dfrac{5x}{2}-\sin \dfrac{3x}{2}$
$\cdots$
$2\sin \dfrac{x}{2}\cos (n-1)x= \sin \dfrac{(2n-1)x}{2}-\sin \dfrac{(2n-3)x}{2}$
$2\sin \dfrac{x}{2}\cos nx= \sin \dfrac{(2n+1)x}{2}-\sin \dfrac{(2n-1)x}{2}$
 Cộng theo từng vế các đẳng thức này và rút gọn các hạng tử đồng dạng ta được
$2\sin \dfrac{x}{2}\left (1+\cos x+\cos 2x+\ldots+\cos nx \right )=\sin \dfrac{(2n+1)x}{2}+\sin \dfrac{x}{2}$
$2\sin \dfrac{x}{2}\left (1+\cos x+\cos 2x+\ldots+\cos nx \right )=2\sin \dfrac{(2n+2)x}{4}\cos \dfrac{2nx}{4}$
 $\sin \dfrac{x}{2}\left (1+\cos x+\cos 2x+\ldots+\cos nx \right )=\sin \dfrac{(n+1)x}{2}\cos \dfrac{nx}{2}$
 Từ đây có đpcm.

Để PT này có nghiệm chỉ cần $\Delta = b^2-4ac \ge 0$
$\Leftrightarrow m^2-4.(1)(-3) \ge0\Leftrightarrow m^2+12 \ge 0$.
Điều này luôn đúng với mọi $m$ vì $m^2 \ge 0 \quad \forall x$ nên $m^2+12 \ge 12 >0.$
Như vậy với mọi giá trị của $m$ thì PT trên luôn có nghiệm.

Ta có
$\dfrac{1}{(x-1)\sqrt{x^2-4x+3}}=\dfrac{x-3}{(x-1)(x-3)\sqrt{x^2-4x+3}}$

$\dfrac{1}{(x-1)\sqrt{x^2-4x+3}}=\dfrac{\dfrac{(x^2-4x+3)-(x-2)(x-3)}{\sqrt{x^2-4x+3}}}{x^2-4x+3}$

$\dfrac{1}{(x-1)\sqrt{x^2-4x+3}}=\dfrac{\sqrt{x^2-4x+3}-\dfrac{(x-2)(x-3)}{\sqrt{x^2-4x+3}}}{x^2-4x+3}$

$\dfrac{1}{(x-1)\sqrt{x^2-4x+3}}=\dfrac{\sqrt{x^2-4x+3}(x-3)'-(\sqrt{x^2-4x+3})'(x-3)}{x^2-4x+3}$

$\dfrac{1}{(x-1)\sqrt{x^2-4x+3}}=\left ( \dfrac{x-3}{\sqrt{x^2-4x+3}} \right )'$

Suy ra 

 $\int\limits_{2+\sqrt{2}}^{4}\dfrac{1}{(x-1)\sqrt{x^{2}-4x+3}}dx=\left[ {\dfrac{x-3}{\sqrt{x^2-4x+3}}} \right]_{2+\sqrt{2}}^{4}=1-\sqrt 2+\dfrac{1}{\sqrt 3}$

$L=\mathop {\lim }\limits_{ } (\sqrt[3]{n^{3 } -2n^{2}} -n)$
$L=\lim \dfrac{n^{3 } -2n^{2}-n^3}{\sqrt[3]{(n^{3 } -2n^{2})^2}+n\sqrt[3]{n^{3 } -2n^{2}} +n^2}$
$L=\lim \dfrac{-2n^{2}}{\sqrt[3]{(n^{3 } -2n^{2})^2}+n\sqrt[3]{n^{3 } -2n^{2}} +n^2}$
$L=\lim \dfrac{-2}{\dfrac{1}{n^2}.\sqrt[3]{(n^{3 } -2n^{2})^2}+\dfrac{1}{n^2}.n\sqrt[3]{n^{3 } -2n^{2}} +\dfrac{1}{n^2}.n^2}$
 $L=\lim \dfrac{-2}{\sqrt[3]{\dfrac{(n^{3 } -2n^{2})^2}{n^6}}+\sqrt[3]{\dfrac{n^{3 } -2n^{2}}{n^3}} +1}$
 $L= \dfrac{-2}{\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{1} +1}$
 $L= \dfrac{-2}{3}$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Giả sử $a,b,c>0$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công sai $q > 0.$
Suy ra có thể viết $b=aq, c=aq^2.$
Ta có
$A=\dfrac{1}{3}(a+b+c)=\dfrac{1}{3}(a+aq+aq^2)=\dfrac{1}{3}a(1+q+q^2)$
$B=\sqrt{\dfrac{1}{3}(ab+bc+ca)}=\sqrt{\dfrac{1}{3}(a^2q+a^2q^3+a^2q^2)}=\sqrt{\dfrac{1}{3}a^2q(1+q+q^2)}$
 $C= \sqrt[3]{abc}= \sqrt[3]{a.aq.aq^2}= \sqrt[3]{a^3q^3}=aq$
 Ta thấy rằng
$AC=\dfrac{1}{3}a^2q(1+q+q^2)=B^2$
Theo định nghĩa của cấp số nhân suy ra $A,B,C$ thứ tự lập thành một cấp số nhân, đpcm.

BPT
$\Leftrightarrow (x+2)^2(x^2+4x) \le 5$
$\Leftrightarrow (x^2+4x+4)(x^2+4x) \le 5$
$\Leftrightarrow (x^2+4x)^2+4(x^2+4x)-5 \le 0$
 $\Leftrightarrow \left[ {(x^2+4x)+5} \right]\left[ {(x^2+4x)-1} \right] \le 0$
 Do $(x^2+4x)+5 =(x+2)^2+1 >0 \quad \forall x$, do đó
BPT
$\Leftrightarrow x^2+4x-1 \le 0$
$\Leftrightarrow -2-\sqrt 5 \le x \le -2+\sqrt 5$

5.
BPT $\Leftrightarrow 4x^2-4x-2+3 \le 0\Leftrightarrow 4x^2-4x+1 \le 0\Leftrightarrow (2x-1)^2 \le 0$
Mặt khác ta có $(2x-1)^2 \ge 0$ với nọi $x$. Như vậy phải có
$(2x-1)^2= 0 \iff x =\dfrac{1}{2}$

4. Xét các trường hợp
+ $x \le 0\Rightarrow \begin{cases}|x|=-x \\ |x-1|= 1-x\end{cases}$
Như vậy BPT $\Leftrightarrow -2x+1-x <5\Leftrightarrow -4<3x\implies -\dfrac{4}{3}<x \le 0$
+ $0<x<1\Rightarrow \begin{cases}|x|=x \\ |x-1|= 1-x\end{cases}$
Như vậy BPT $\Leftrightarrow 2x+1-x <5\Leftrightarrow x<4\implies 0<x<1$
 + $x \ge 1\Rightarrow \begin{cases}|x|=x \\ |x-1|= x-1\end{cases}$
Như vậy BPT $\Leftrightarrow 2x+x-1 <5\Leftrightarrow 3x<6\Leftrightarrow x<2\implies 1 \le x<2$
 Kết hợp ba trường hợp ta được $ -\dfrac{4}{3}<x<2$

2,
+ Xét $x \ge 4$, BPT $\Leftrightarrow x-4 < x^2+x+1 \Leftrightarrow x^2+5>0$, luôn đúng với mọi $x$.
+ Xét $x < 4$,
BPT $\Leftrightarrow 4-x < x^2+x+1 \Leftrightarrow x^2+2x-3>0\Leftrightarrow \begin{cases}(x+3)(x-1)>0 \\ x<4\end{cases}\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} 1<x<4\\ x < -3 \end{matrix}} \right.$

7.
BPT $\Leftrightarrow (x-2)(x-1)(x+1)>0$
Lập bảng xét dấu và ta có $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x>2\\ -1<x<1 \end{matrix}} \right.$.

Gọi $q$ là công sai của cấp số nhân. Ta có
$8u_2-5\sqrt 5 u_5 = 0\Rightarrow 8.u_1q-5\sqrt 5 u_1q^4 = 0\Rightarrow u_1q(8-5\sqrt 5 q^3)= 0$
Hiển nhiên thấy $u_1 \ne 0, q \ne 0$ vì nếu ngược lại cấp số nhân này chỉ toàn những số $0$, và nó vô lý với điều kiện thứ hai.
Từ đây suy ra $8-5\sqrt 5 q^3=0\Rightarrow q^3=\dfrac{8}{5\sqrt 5}=\left ( \dfrac{2}{\sqrt 5} \right )^3\Rightarrow q=\dfrac{2}{\sqrt 5}$
Từ
$u_1^3+u_3^3=189\Rightarrow u_1^3+q^6u_1^3=189\Rightarrow u_1^3=\dfrac{189}{1+\left ( \dfrac{2}{\sqrt 5} \right )^6}=125\Rightarrow u_1=5$.
Thep công thức tính tổng ta có
$S_{12}=u_1.\dfrac{1-q^{12}}{1-q}=5\dfrac{1-\left ( \dfrac{2}{\sqrt 5} \right )^{12}}{1-\left ( \dfrac{2}{\sqrt 5} \right )}$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết