Từ điều kiện của hàm mũ, và dễ thấy nếu $a=1 \Rightarrow b=1$ và ngược lại nên ta có thể giả sử $a,b \in \mathbb N, a,b \ge 2.$

+ Xét $a=2$. Ta có $2^b=b^2$.
Thấy rằng $b=2$ là nghiệm,$b=1,3$ không là nghiệm nên ta tiếp tục xét $b \ge 3.$
Xét hàm số $f(b) =2^b-b^2 \quad \forall b \ge 3.$
Có $f'(b)=2^b\ln b-2b$,
$ f''(b)=2^b\ln^2 b-2>0 \quad \forall b \ge 3.$
Suy ra $f(b)=0$ không có quá một nghiệm. Mặt khác $f(4)=0$ nên $b=4$ là nghiệm duy nhất.
Vậy trong trường hợp $a=2$ thì $b=2$ hoặc $b=4.$

+ Xét $a \ge 3.$ Đổi vai trò của $a$ và $b$, làm tương tự như phần trên thì thu được nghiệm $b=2,a=4$ và tiếp tục xét $b \ge 3$
PT đã cho $\Leftrightarrow \ln (a^b)=\ln (b^a)\Leftrightarrow b\ln a=a\ln b\Leftrightarrow \dfrac{\ln a}{a}=\dfrac{\ln b}{b}\Leftrightarrow f(a)=f(b)$
Với hàm $f(t)=\dfrac{\ln t}{t}\quad \forall t \ge 3.$
Có $f'(t) = \dfrac{1-\ln t}{t^2}<0\quad \forall t \ge3$ nên $f$ nghịch biến kéo theo $a=b.$

Vậy nghiệm của PT là
$(a,b) \in \left\{ {(k,k),(2,4),(4,2)} \right\}, \quad k \in \mathbb N, k \ge 1.$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

b) Do $IG \parallel (ABCD)$ nên giao tuyến của $(IEG)$ và $(ABCD)$ là đường thẳng qua $E$ song song với $IG $. Từ câu a) suy ra nó cũng phải song song với $MN$. Nên nó chính là đường $EF$, với $F$ là trung điểm $BC$.
Gọi $EF$ lần lượt cắt $AD,AB$ tại $X,Y$ trong mp $(ABCD)$.
Gọi $GX$ cắt $SA,SD$ tại $H,K$ trong mp $(SAD)$.
Ta sẽ chứng minh $H, I , Y$ thẳng hàng trong mp $(SAB)$.
 Để chứng minh điều này ta cần biết định lý Menelauyt cho $\triangle SAN$ với cát tuyến $X,G,H$ để tính được $\dfrac{HS}{HA}=4$
và dùng kết quả trên và định lý đảo Menelauyt cho $\triangle SAM$ để có được $H, I , Y$ thẳng hàng.
 Bây giờ gọi $HY$ cắt $SB$ tại $P$ thì $HKEFP$ là thiết diện cần tìm.

a) Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AD.$
Theo tính chất trọng tâm ta có
$\dfrac{SG}{SN}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{SI}{SM}\Rightarrow IG \parallel MN \Rightarrow IG \parallel (ABCD)$

Từ PT thứ hai $\Rightarrow 4x^{2}-22x+21=4y+3$, thay và PT thứ nhất ta được
$y^3+3y^2+5y+3=(2x+1)\sqrt{2x-1}\Leftrightarrow (y+1)(y^2+2y+3)=(2x+1)\sqrt{2x-1}$
Đặt $f(t)=t(t^2+2)$ thì PT trên $\Leftrightarrow f(y+1)=f(\sqrt{2x-1})$
Ta có $f'(t)=3t^2+2>0 \quad \forall t$ nên $f$ là hàm đồng biến, suy ra
$y+1=\sqrt{2x-1}\Rightarrow 2x^{2}-11x+11=2y +2=2\sqrt{2x-1}\Rightarrow 2x^{2}-11x+11=2\sqrt{2x-1} $
$\Rightarrow (2x^{2}-11x+11)^2=4(2x-1)\Rightarrow (x-1)(x-5)(2x-5)^2=0$
Từ đấy thu được
$(x,y) \in \left\{ {(1,0), (5,2),(5/2,1)} \right\}$
Thử lại chỉ có
$(x,y) \in \left\{ {(1,0), (5,2)} \right\}$

Pt thứ nhất $\Leftrightarrow (4x^{2}+1)x=(3-y)\sqrt{5-2y}\Leftrightarrow (4x^{2}+1)2x=(6-2y)\sqrt{5-2y}$
Xét hàm $f(t)=t(t^2+1)$ thì PT trên $\Leftrightarrow f(2x)=f(\sqrt{5-2y})$
Ta có $f'(t)=3t^2+1>0 \quad \forall t$ nên $f$ là hàm đồng biến, do vậy
$2x=\sqrt{5-2y}\Leftrightarrow  \begin{cases}5-2y=4x^2 \\ 0 \le x \le 3/4 \end{cases}$
Từ PT thứ hai $\Leftrightarrow 2\sqrt{3-4x}=-y\Leftrightarrow \begin{cases}4(3-4x)=y^2 \\ y \le 0 \end{cases}$
Tóm lại ta có
$ \begin{cases}5-2y=4x^2 \\ 4(3-4x)=y^2 \\ 0 \le x \le 3/4 \\y \le 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}y=\dfrac{5-4x^2}{2} \\ 4(3-4x)=\left ( \dfrac{5-4x^2}{2} \right )^2 \\ 0 \le x \le 3/4 \\y \le 0 \end{cases}\Rightarrow (2x-1)(8x^3+4x^2-18x+23)=0$
Ta có PT bậc ba $8x^3+4x^2-18x+23=0$ có duy nhất một nghiệm âm (phần này bạn tự chứng minh coi như bài tập nhé)
Do đó $2x-1=0\Leftrightarrow x=1/2\Rightarrow y=\dfrac{5-4x^2}{2}=2>0,$ vô lý.
Vậy PT đã cho vô nghiệm.

$\textbf{Cách 2}$
$\sqrt[]{x-\sqrt{x^2-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}=2$
ĐK: $\begin{cases}x^2-1 \ge0 \\ x\ge \pm\sqrt{x^2-1} \end{cases}\Rightarrow x\geq 1$.
Đặt $x-\sqrt{x^2-1}=a,x+\sqrt{x^2-1}=b$ thì $0\leq a\leq b$.
Ta có hệ
$\begin{cases}a+b=2 \\ ab=1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}b=2-a \\ a(2-a)=1 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}b=2-a \\ (a-1)^2=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}b=1 \\ a=1 \end{cases}$
Vậy phương trình đã cho tương đương với $a=b=1$ hay $x=1.$

$\textbf{Cách 1}$
$\sqrt[]{x-\sqrt{x^2-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}=2$
ĐK: $\begin{cases}x^2-1 \ge0 \\ x\ge \pm\sqrt{x^2-1} \end{cases}\Rightarrow x\geq 1$.
Đặt $x-\sqrt{x^2-1}=a,x+\sqrt{x^2-1}=b$ thì $0\leq a\leq b$.
Mà $ab=1$ nên $a\leq 1\leq b$.
Khi đó: $2=\sqrt[]{a}+\sqrt{b}\geq2\sqrt[4]{ab}=2$.
Do đó phương trình đã cho tương đương với $a=b=1$ hay $x=1.$

Bạn xem tại đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/114111/giai-pt

Giả sử rằng PT có nghiệm thì tất cả các biểu thức trong căn phải không âm.
Ta sẽ chứng minh điều sau
$$\sqrt{x+\sqrt{x^2-x+1} }<\sqrt{x+1+\sqrt{x^2+x+1} }+1$$
với mọi $x$ là cho các biểu thức có nghĩa.
Thật vậy,
+ Xét $x \ge 0$ thì hiển nhiên có
       $0 < x^2-x+1 \le x^2+x+1$
$\Leftrightarrow x+\sqrt{x^2-x+1}<x+1+\sqrt{x^2+x+1}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+\sqrt{x^2-x+1} }<\sqrt{x+1+\sqrt{x^2+x+1} }+1$
+ Xét $x < 0$ thì
       $0 < x^2-x+1 < x^2-2x+1=(1-x)^2$
$\Leftrightarrow \sqrt{x^2-x+1}<1-x$
$\Leftrightarrow x+\sqrt{x^2-x+1}<1$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+\sqrt{x^2-x+1} }<\sqrt{x+1+\sqrt{x^2+x+1} }+1$

Tóm lại PT đã cho vô nghiệm.

PT thứ nhất $\Leftrightarrow y^{2}+(y-3)x-4y+3=0\Leftrightarrow (y-3)(x+y-1)=0$
Dễ thấy từ PT thứ hai thì $y \le 2$ nên ta phải có $x+y=1.$ Suy ra $2-y=x+1.$
Từ PT thứ hai $\Leftrightarrow \sqrt[3]{x-2}+\sqrt{x+1}=3$
Đặt
$\begin{cases}a=\sqrt[3]{x-2} \\ b=\sqrt{x+1} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a+b=3 \\ a^3-b^2=-3 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}b=3-a \\ a^3-(3-a)^2+3=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=1 \\ b=2 \end{cases}\Leftrightarrow x=3,y=-2$

Điều kiện $x \ge 1$ hoặc $x=-1.$
PT
$\Leftrightarrow \sqrt{2(x+1)(x+3)}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$
$\Leftrightarrow ( \sqrt{2(x+1)(x+3)}+\sqrt{x^2-1})^2=(2x+2)^2$
$\Leftrightarrow 3x^2+8x+5+2\sqrt{2(x+1)(x+3)}.\sqrt{x^2-1}=4x^2+8x+4$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{2(x+1)(x+3)}.\sqrt{x^2-1}=x^2-1$
 $\Leftrightarrow 8(x+1)(x+3)(x^2-1)=(x^2-1)^2$
 $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x^2-1=0\\ x+1=0\\8(x+3)=x-1 \end{matrix}} \right.$
  $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=1\\ x=-1\\x=-25/7 \text{(loại)}  \end{matrix}} \right.$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Từ PT thứ hai suy ra $y(x^2+2)=22-x^2\Rightarrow y=\dfrac{22-x^2}{x^2+2}$.
Thay vào PT thứ nhất ta được
      $x^4 - 4x^2 - x\left (\dfrac{22-x^2}{x^2+2} \right )^2 - 6\dfrac{22-x^2}{x^2+2} + 9 = 0$
$\Leftrightarrow x^8-x^5+3x^4+44x^3-100x^2-484x-228=0$
Nếu đề bài có nghiệm đẹp thì làm theo phương pháp trên đây chắc chắn sẽ thu dược kết quả như mong muốn. Bạn có thể  xem lại đề bài hoặc chấp nhận đáp số không thực sự đẹp

2. $A=\dfrac{x^4-16}{x^4-4x^3+8x^2-16x+16}=\dfrac{(x-2)(x+2)(x^2+4)}{(x-2)^2(x^2+4)}=\dfrac{x+2}{x-2}=1+\dfrac{4}{x-2}$
Do đó
$A \in \mathbb Z \Leftrightarrow \dfrac{4}{x-2} \in \mathbb Z \Leftrightarrow x-2 \in \left\{ {-1,1,-2,2,-4,4} \right\} \Leftrightarrow x \in \left\{ {1,3,0,4,-2,6} \right\}$