b) Đặt $t=-x\Rightarrow dt=-dx$
$I= \int\limits_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{\sin^{6}x + \cos^{6}x}{6^{x}+1}dx= \int\limits_{\pi/4}^{-\pi/4} \frac{\sin^{6}(-t) + \cos^{6}(-t)}{6^{-t}+1}(-dt)= \int\limits_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{(\sin^{6}t + \cos^{6}t)6^t}{1+6^{t}}dt$
$\implies I= \int\limits_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{(\sin^{6}x + \cos^{6}x)6^x}{1+6^{x}}dx$
Suy ra
$2I=I+I = \int\limits_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{\sin^{6}x + \cos^{6}x}{6^{x}+1}dx+ \int\limits_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{(\sin^{6}x + \cos^{6}x)6^x}{1+6^{x}}dx= \int\limits_{-\pi/4}^{\pi/4}(\sin^{6}x + \cos^{6}x)dx$
$= \int\limits_{-\pi/4}^{\pi/4}(\dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{8}\cos 4x)dx=\left[ {\dfrac{5x}{8}+\dfrac{3}{32}\sin 4x} \right]_{-\pi/4}^{\pi/4}=\dfrac{5\pi}{16}$

a)
$\cos^{2}3x.\cos^{2}6x=\dfrac{1+\cos 6x}{2}.\dfrac{1+\cos 12x}{2}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\cos 6x + \dfrac{1}{4}\cos 12x+\dfrac{1}{4}\cos6x\cos12x$
$=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\cos 6x + \dfrac{1}{4}\cos 12x+\dfrac{1}{8}\cos 18x +\dfrac{1}{8}\cos6x$
$=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}\cos 6x + \dfrac{1}{4}\cos 12x+\dfrac{1}{8}\cos 18x $
 Suy ra
$ \int\limits_{0}^{\pi/2} (\cos^{2}3x.\cos^{2}6x)dx=\left[ {\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{16}\sin 6x + \dfrac{1}{48}\sin 12x+\dfrac{1}{144}\sin 18x} \right]_{0}^{\pi/2}= \dfrac{\pi}{8}$

a)
$ \dfrac{4\sin x}{(\sin x + \cos x)^{3}}= \dfrac{4\sin x(\sin x + \cos x)}{(\sin x+\cos x)^{4}}= \dfrac{4\sin^2 x+4\sin x \cos x}{(1+\sin 2x)^{2}}$
$= \dfrac{2-\cos 2x+2\sin 2x}{(1+\sin 2x)^{2}}= \dfrac{(\sin 2x+1)(2\cos 2x+2\sin 2x) -2\cos 2x(\sin 2x -\cos 2x +2)}{(1+\sin 2x)^{2}}$
$= \dfrac{(\sin 2x+1)(\sin 2x -\cos 2x +2)' -(\sin 2x+1)'(\sin 2x -\cos 2x +2)}{(1+\sin 2x)^{2}}=\left (  \dfrac{\sin 2x -\cos 2x +2}{1+\sin 2x} \right )'$
Suy ra 
 $\int\limits_{0}^{\pi/4} \dfrac{4\sin x}{(\sin x + \cos x)^{3}}=\left[ {\left (  \dfrac{\sin 2x -\cos 2x +2}{1+\sin 2x} \right )} \right]_{0}^{\pi/4} =\dfrac{1}{2}$

$I= \int_{1}^{3}\frac{3+\ln x}{(1+x)^2}dx=\int_{1}^{3}\frac{3}{(1+x)^2}dx+\int_{1}^{3}\frac{\ln x}{(1+x)^2}dx=\left[ {-\frac{3}{1+x}} \right]_{1}^{3}+\int_{1}^{3}\frac{\ln x}{(1+x)^2}dx$
$=\dfrac{3}{4}+\int_{1}^{3}\frac{\ln x}{(1+x)^2}dx$
Đặt  $\begin{cases}u=\ln x  \\ dv=\frac{1}{(1+x)^2}dx \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}du=\dfrac{1}{x}dx  \\ v=-\frac{1}{1+x}dx \end{cases}$
Suy ra  
$I=\dfrac{3}{4}+\left[ {-\frac{\ln x}{1+x}} \right]_{1}^{3}+\int_{1}^{3}\frac{1}{x(1+x)}dx$ 
$I=\dfrac{3}{4}+\left[ {-\frac{\ln x}{1+x}} \right]_{1}^{3}+\int_{1}^{3}\left ( \frac{1}{x}-\frac{1}{1+x} \right )dx$ 
$I=\dfrac{3}{4}+\left[ {-\frac{\ln x}{1+x}+\ln x -\ln (x+1)} \right]_{1}^{3}$ 
$I=\boxed{\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}\ln\dfrac{27}{16}} $

$\textbf{Cách 1}$
Áp dụng tích phân từng phần
Đặt $\begin{cases}u=\ln(x+1) \\ dv=(x^{2}+4x+2)dx \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}du=\dfrac{1}{x+1}dx \\ v=\dfrac{1}{3}(x^3+6x^2 +6x+1)=\dfrac{1}{3}(x+1)(x^2+5x+1)\end{cases}$ 
Suy ra
$I=uv|_{0}^{1} - \int\limits_{0}^{1}vdu=\left[ {\dfrac{1}{3}(x+1)(x^2+5x+1)\ln(x+1)} \right]_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}\dfrac{1}{3}(x^2+5x+1)dx$ 
$=\left[ {\dfrac{1}{3}(x+1)(x^2+5x+1)\ln(x+1)+\dfrac{1}{9}x^3+\dfrac{5}{6}x^2+\dfrac{1}{3}x)} \right]_{0}^{1}$ 
$=\boxed{-\dfrac{23}{18}+\dfrac{2\ln 2}{3}+\ln 16}$ 

Câu 1. 
PT
$\Leftrightarrow 2-2\cos^2 x−\sqrt 3 \sin 2x+1=\sqrt 3 \sin x−\cos x$ 
$\Leftrightarrow \sqrt 3 \sin 2x+\sqrt 3 \sin x+2\cos^2 x−\cos x-1=0$ 
$\Leftrightarrow  \sqrt 3\sin x (2\cos x +1) +(2\cos x +1)(\cos x-1) =0$ 
$\Leftrightarrow (2\cos x + 1)( \sqrt 3\sin x +\cos x-1) =0$ 
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \cos x =-\dfrac{1}{2}\\ \sqrt 3\sin x +\cos x=1 \end{matrix}} \right.$ 
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \cos x =-\dfrac{1}{2}\\ \sin (x +\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2} \end{matrix}} \right.$ 
Đến đây dễ bạn viết nốt nghiệm nhé.  

Câu 2. 
PT
$\Leftrightarrow  (2\sin x \cos x - \sin x) +2\cos^2 x+ \cos x- 1  =0$ 
$\Leftrightarrow  \sin x (2\cos x - 1) +(2\cos x - 1)(\cos x+1) =0$ 
$\Leftrightarrow (2\cos x - 1)( \sin x +\cos x+1) =0$ 
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \cos x =\dfrac{1}{2}\\ \sin x +\cos x=-1 \end{matrix}} \right.$ 
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \cos x =\dfrac{1}{2}\\ \sin (x +\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{\sqrt 2} \end{matrix}} \right.$ 
Đến đây dễ bạn viết nốt nghiệm nhé. 

Câu 3. 
$\tan^4 x -4\tan^2 x +3=0\Leftrightarrow (\tan^2 x -1)(\tan^2 x -3)=0$ 
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \tan x = \pm 1\\  \tan x = \pm \sqrt 3\end{matrix}} \right.$ 
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}  x = \pm \dfrac{\pi}{4}+k\pi\\  x = \pm \arctan \sqrt 3+k\pi\end{matrix}} \right.     (k \in \mathbb{Z})$  

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

PT $\Leftrightarrow x^2-1 -m(x-1)=0\Leftrightarrow (x-1)(x+1-m)=0$
Nhu vậy PT có hai nghiệm $x_1=1, x_2=m-1.$
Ta cầnn điều kiện $x_1,x_2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1$.
Ta có
$\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{8}{5}\Leftrightarrow \dfrac{1}{m-1}+\dfrac{m-1}{1}=\dfrac{8}{5}\Leftrightarrow (m-1)^2-\dfrac{8}{5}(m-1)+1=0$
PT này vô nghiệm nên không có giá trị $m$ nào thỏa mãn bài toán.

Ta có
$\dfrac{x^2}{x^4-1}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{x^2+1+x^2-1}{x^4-1}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{x^2-1}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{x^2+1}$
$=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{x^2+1}$
Suy ra
$\int\limits_{0}^{1/\sqrt 3}\dfrac{x^2}{x^4-1}dx=\left[ {\dfrac{1}{4}\ln|x-1|+\dfrac{1}{4}\ln|x+1| +\dfrac{1}{2}\arctan x} \right]_{0}^{1/\sqrt 3}$
Bạn tự thay nốt kết quả vào nhé.

Ta có 
$ \begin{cases}(n+6)  \vdots ( n+12) \\ (n+12)  \vdots ( n+12) \end{cases}\Rightarrow (n+12)-(n+6)  \vdots ( n+12)\Rightarrow 6   \vdots ( n+12)$ 
Mặt khác do $n \in \mathbb{N}$  nên $n+12 \ge 12.$ Như vậy $n+12$ không thể nhận các giá trị nào là ước của $6$.
Vậy không có số $n$ nào thỏa mãn bài toán. 

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Trước hết bạn tự chứng minh một bài tập không khó sau nhé.
$\dfrac{1}{X } +\dfrac{1}{Y} \ge \dfrac{4}{X +Y}             \forall X,Y >0.$ 
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow X=Y.$
Áp dụng ta có
$\begin{cases}\dfrac{1}{a } +\dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{a+b} \\ \dfrac{1}{c } +\dfrac{1}{d} \ge \dfrac{4}{c+d}\\\dfrac{4}{a+b} +\dfrac{4}{c+d}\ge \dfrac{16}{a+b+c+d} \end{cases}$ 
Cộng ba BĐT trên và ta có đpcm. 
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=d.$