Ta có 
$\dfrac{a}{1+b^2}=a - \dfrac{ab^2}{1+b^2} \ge a - \dfrac{ab^2}{2b} =a - \dfrac{ab}{2}$ 
Thiết lập hai đẳng thức tương tự nữa và cộng vào, ta có
$\dfrac{a}{1 + b^{2}} + \dfrac{b}{1 + c^{2}} + \dfrac{c}{1 + a^{2}} \ge a+b+c - \dfrac{ab+bc+ca}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{a}{1 + b^{2}} + \dfrac{b}{1 + c^{2}} + \dfrac{c}{1 + a^{2}} \ge  3 - \dfrac{(a+b+c)^2}{6}= \dfrac{3}{2}$ 
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1.$ 

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Thay $x^2 = \dfrac{y^{2}+2y+2}{2}$ vào PT thứ nhất và rút gọn ta được
$2x(y+1)=3y^2+6y-2\Leftrightarrow x= \dfrac{3y^2+6y-2}{2(y+1)}$ do $y=-1$ không là nghiệm của hệ.
Thay điều này vào PT thứ hai
$2\left ( \dfrac{3y^2+6y-2}{2(y+1)} \right )^{2}-y^{2}-2y-2=0$
$\Leftrightarrow y(y+2)(7y^2+14y-18)=0$
Vậy hệ có các nghiệm
$(x,y) \in \left\{ {(-1,-2), (1,0), \left (\dfrac{-4}{\sqrt 7},\dfrac{5}{\sqrt 7}-1 \right ),\left (\dfrac{4}{\sqrt 7},\dfrac{-5}{\sqrt 7}-1 \right )} \right\}$

Điều kiện $x <2$.

+ Xét $1/2 <x <2$ ta có
$\begin{cases}0<2-x<2-1/2=3/2 \\ 0<3-x<3-1/2=5/2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\dfrac{6}{2-x}>4 \\ \dfrac{10}{3-x}>4 \end{cases}\Rightarrow \sqrt{\dfrac{6}{2-x}}+\sqrt{\dfrac{10}{3-x}}>4\Rightarrow $ PT vô nghiệm.

+ Xét $x <1/2$ ta có
$\begin{cases}2-x>2-1/2=3/2 \\ 3-x>3-1/2=5/2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}4>\dfrac{6}{2-x}>0 \\4> \dfrac{10}{3-x}>0 \end{cases}\Rightarrow \sqrt{\dfrac{6}{2-x}}+\sqrt{\dfrac{10}{3-x}}<4\Rightarrow $ PT vô nghiệm.

 Vậy PT có nghiệm duy nhất $x=1/2.$

e) Trước hết xin đưa ra một bài toán phụ nhưng không chứng minh. Nếu hai tam giác $ABC$ và $ADE$ có chung góc $A$ thì
$$\dfrac{S_{ABC}}{S_{ADE}}=\dfrac{AB}{AD}.\dfrac{AC}{AE}$$
Áp dụng bài toán này ta được
$\dfrac{S_{AHM}}{S_{ACK}}=\dfrac{AH}{AC}.\dfrac{AH}{AK}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{AH^2}{AK.AH}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{AH^2}{AD^2}=\dfrac{1}{2}.\cos^2 \widehat{DAK}$
Mặt khác xét $\triangle ACK$ và $\triangle AKB$  có chung chiều cao hạ từ $K$ và cạnh đáy $AC=2/3AB$ suy ra $S_{ACK}=2/3S_{AKB}$
Vậy
$S_{AHM}=\dfrac{1}{2}.S_{ACK}.\cos^2 \widehat{DAK}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}.S_{AKB}.\cos^2 \widehat{DAK}=\dfrac{1}{3}.S_{AKB}.\cos^2 \widehat{DAK}$ (đpcm)

d) Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ thì do $\widehat{CKB}=90^\circ$ nên $K$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$ có tâm là $I$.
Nói cách khác $CI=IK=IB$ nên $\widehat{CKI}=\widehat{KCI}$
Mặt khác theo câu c) thì $\widehat{HKC}=\widehat{CBK}$
nên từ $\widehat{KCI}+\widehat{CBK}=90^\circ\Rightarrow \widehat{HKC}+\widehat{CKI}=90^\circ\Rightarrow HK \perp KI$
Điều này chứng tỏ $HK$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $BC$.

c) Ta có
$\begin{cases}\widehat{ADH}=\widehat{CDH}  ( \text{tứ giác ADCE là hình thoi}) \\\widehat{HKC}=\widehat{CDH}  ( \text{tứ giác DHCK nội tiếp}) \\\widehat{ADH}=\widehat{HBK}  ( \text{cùng cộng với}  \widehat{HDB}   \text{bằng}  90^\circ )\end{cases}\Rightarrow \widehat{HKC}=\widehat{HBK}$
Suy ra
$\triangle HKC \sim \triangle HBK (g.g) \Rightarrow \dfrac{HK}{HC}= \dfrac{HB}{HK}\Leftrightarrow HK^2=HB.HC$ (đpcm)

b) Do $AECD$ là hình thoi nên $AD \parallel EC$. Mặt khác do $D$ nằm trên nửa đường tròn đường kính $AB$ nên $AD \perp DB$.
Từ đây suy ra $EK \perp BD$.
Xét tứ giác $DKCH$ có $\widehat{DHC}=\widehat{DKC}=90^\circ$ nên tứ giác này là tứ giác nội tiếp và nằm trong đường tròn có đường kính $CD$.

a) Do $DE \perp AC$ nên $DE$ là dây cung vuông góc với đường kính $AB$. Vì thế $H$ là trung điểm của $DE$.
Mặt khác $H$ cũng là trung điểm của $AC$. Tứ giác $AECD$ có hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình thoi.

1d)
Ta có
$u_1=S_1 =4.1^2-3.1=1$ 
Theo công thức
$4n^2-3n =S_n =\dfrac{n\left[ {2u_1+(n-1)d} \right]}{2}$
$\Rightarrow 4n-3=\dfrac{\left[ {2+(n-1)d} \right]}{2}$ 
$\Rightarrow 8n-6=2+(n-1)d$ 
$\Rightarrow 8(n-1)=(n-1)d$ 
$\Rightarrow d=8$ 
Như vậy
$u_{2012} = u_1+2011d=1+8.2011=16089$ 

2b) 
$1+\sin x;\sin^2 x;1+\sin 3x$  lập thành csc khi và chỉ khi
$1+\sin x+1+\sin 3x=2\sin^2 x\Leftrightarrow \sin x + \sin 3x +2(1-\sin^2 x)=0$
$\Leftrightarrow \sin 2x \cos x +\cos^2 x =0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}\cos x = 0\\ \sin 2x =-\cos x =\sin (x-\pi/2)\end{matrix}} \right.$
Đến đây bạn giải tiếp nhé. 

2a) 
$10−7x;2x^2+1;7−4x$  lập thành csc khi và chỉ khi
$10-7x+7-4x=2(2x^2+1)\Leftrightarrow 4x^2+11x-15=0\Leftrightarrow x=1$  hoặc $x=-15/4$

1c)
 Ta có $U_n = U_1 +(n-1)d$
Từ giải thiết suy ra 
$\begin{cases}u_1+(u_1+2d)=28 \\ (u_1+2d)+(u_1+4d)=40 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}2u_1+2d=28\\ 2u_1+6d=40\end{cases}\Rightarrow  \begin{cases}d=3 \\ u_1=11 \end{cases}$ 
Vậy
$u_1=11, u_2=14, u_3=17,u_4=20,u_5=23$ 

1b)
 Ta có $U_n = U_1 +(n-1)d$
Từ giải thiết suy ra
$\begin{cases}u_1-(u_1+2d)=6 \\ u_1+4d=-10 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}d=-3 \\ u_1=2 \end{cases}\Rightarrow u_n=2-(n-1).3=-3n+5$