Từ PT thứ hai ta có
$a^2+7=2b(a-1)\Leftrightarrow b=\frac{a^2+7}{2(a-1)}$.
Thay vào PT thứ nhất ta có
$a^2-\left (\frac{a^2+7}{2(a-1)}\right )^2-2a+2\frac{a^2+7}{2(a-1)}+3=0$
$\Leftrightarrow 3x^3- 12x^3+ 14x^2- 4x- 65=0$
$\Leftrightarrow (a^2-2a+5)(3a^2-6a-13)=0$
$\Leftrightarrow (a,b) \in \left\{ {\left ( 1-\frac{4}{\sqrt 3},1-\frac{5}{\sqrt 3} \right ),\left ( 1+\frac{4}{\sqrt 3},1+\frac{5}{\sqrt 3} \right )} \right\}$

d)
Từ PT thứ nhất ta có
$\underbrace{\iff}_{\begin{matrix} a=2x+y\\ b=2x-y\end{matrix}}a^2-5ab+6b^2=0\Leftrightarrow (a-2b)(a-3b)=0$
+ Nếu $a=2b$. Thì từ PT thứ hai
$a+\frac{1}{b}=3\Leftrightarrow 2b+\frac{1}{b}=3\Leftrightarrow2b^2-3b+1=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}\begin{cases}a=2 \\ b=1 \end{cases}\\ \begin{cases}a=1 \\ b=1/2 \end{cases} \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow (x,y) \in \left\{ {(3/4,1/2), (3/8,1/4)} \right\}$
+ Nếu $a=2b$. Thì từ PT thứ hai
$a+\frac{1}{b}=3\Leftrightarrow 3b+\frac{1}{b}=3\Leftrightarrow3b^2-3b+1=0$, PT này vô nghiệm.
Vậy
$ (x,y) \in \left\{ {(3/4,1/2), (3/8,1/4)} \right\}$

b) Đặt $a=x+\frac{1}{y}, b=x+y-3$. Ta có HPT
$\Leftrightarrow \begin{cases}\sqrt{a}+\sqrt{b}=3 \\ a+b=5  \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\sqrt{a}+\sqrt{b}=3 \\ \left (\sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}=5  \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\sqrt{a}+\sqrt{b}=3 \\ \sqrt{a}\sqrt{b}=2  \end{cases} $
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \begin{cases}a=4 \\ b=1  \end{cases} \\  \begin{cases}a=1 \\ b=4  \end{cases} \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow (x,y) \in \left\{ {(3,1), (5,-1),\left (4+\sqrt {10}, 3-\sqrt {10} \right ),\left (4-\sqrt {10}, 3+\sqrt {10} \right )} \right\}$

b) Đặt $a=x+\frac{1}{y}, b=x+y-3$. Ta có HPT
$\Leftrightarrow \begin{cases}\sqrt{a}+\sqrt{b}=3 \\ a+b=5  \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\sqrt{a}+\sqrt{b}=3 \\ \left (\sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}=5  \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\sqrt{a}+\sqrt{b}=3 \\ \sqrt{a}\sqrt{b}=2  \end{cases} $
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \begin{cases}a=4 \\ b=1  \end{cases} \\  \begin{cases}a=1 \\ b=4  \end{cases} \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow (x,y) \in \left\{ {(3,1), (5,-1),\left (4+\sqrt {10}, 3-\sqrt {10} \right ),\left (4-\sqrt {10}, 3+\sqrt {10} \right )} \right\}$

d)
Từ PT thứ nhất ta có
$\underbrace{\iff}_{\begin{matrix} a=2x+y\\ b=2x-y\end{matrix}}a^2-5ab+6b^2=0\Leftrightarrow (a-2b)(a-3b)=0$
+ Nếu $a=2b$. Thì từ PT thứ hai
$a+\frac{1}{b}=3\Leftrightarrow 2b+\frac{1}{b}=3\Leftrightarrow2b^2-3b+1=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}\begin{cases}a=2 \\ b=1 \end{cases}\\ \begin{cases}a=1 \\ b=1/2 \end{cases} \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow (x,y) \in \left\{ {(3/4,1/2), (3/8,1/4)} \right\}$
+ Nếu $a=2b$. Thì từ PT thứ hai
$a+\frac{1}{b}=3\Leftrightarrow 3b+\frac{1}{b}=3\Leftrightarrow3b^2-3b+1=0$, PT này vô nghiệm.
Vậy
$ (x,y) \in \left\{ {(3/4,1/2), (3/8,1/4)} \right\}$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

a) Tính thể tích
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông $ABCD$.
Ta có  $SO \perp mp(ABCD)$ và $AO = \frac{a}{\sqrt 2}$.
Vì các góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng $45^\circ$ nên $SO=AO= \frac{a}{\sqrt 2}$.
 Suy ra $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SO.S_{ABCD}=\frac{a^3}{3\sqrt 2}$

$\left\{\begin{matrix}\cos(x-y) = \dfrac{1}{4} & & \\ \sin (x+y) = \dfrac{\sqrt{15}}{4} & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \begin{cases}x-y=\pm \arccos\frac{1}{4}+k_12\pi \\ \left[ {\begin{matrix} x+y=\arcsin\dfrac{\sqrt{15}}{4}+k_22\pi \\ x+y=\pi - \arcsin\dfrac{\sqrt{15}}{4}+k_22\pi\end{matrix}} \right. \end{cases}   (k_1, k_2 \in \mathbb{Z})$
Đến đây ta có $4$ hệ và rất đơn giản để tìm $x$ và $y$ vì chỉ là bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu :)

Bài toán tổng quát
Tìm
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos a_1x\cos a_2 x...cosa_nx}{x^{2}}$       $(a_1, a_2,\cdots, a_n \neq 0)$ 
Trước hết đưa ra đẳng thức sau
$1- A_1A_2\cdots A_n=(1-A_1)+A_1(1-A_2)+A_1A_2(1-A_3)+\cdots +A_1A_2\cdots A_{n-1}(1-A_n)$
Dễ dàng để kiểm tra đẳng thức này luôn đúng.
Bây giờ đặt $A_i =\cos a_i x, i=1,2,\cdots,n$ và chú ý rằng
$\begin{cases}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-A_1}{x^{2}} =\frac{1-\cos a_1 x}{x^{2}} =\frac{a_1^2}{2}\\ \lim_{x\rightarrow 0}A_i=1 , i=1,2,\cdots,n\end{cases}$
Vậy
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos a_1x\cos a_2 x...cosa_nx}{x^{2}}=\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{2}$

 $L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[m]{\cos bx}.\sqrt[n]{\cos ax}}{x^{2}}$
$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[n]{\cos ax} +(1-\sqrt[m]{\cos bx})\sqrt[n]{\cos ax}}{x^{2}}$
$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[n]{\cos ax}}{x^{2}}+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1-\sqrt[m]{\cos bx})\sqrt[n]{\cos ax}}{x^{2}}$
$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[n]{\cos ax}}{x^{2}}+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[m]{\cos bx}}{x^{2}}$, do $\lim_{x\rightarrow 0} \cos ax =1$
ta tính
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[n]{\cos ax}}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos ax}{x^{2}}.\frac{1}{1+\sqrt[n]{\cos ax}+\cdots+\sqrt[n]{(\cos ax)^{n-1}}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\sin^2\frac{ax}{2}}{x^2}\frac{1}{n}$
$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a^2}{2}\left ( \frac{\sin \frac{ax}{2}}{\frac{ax}{2}}\right )^2\frac{1}{n}=\frac{a^2}{2n}$
Tương tự ta cũng có
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[m]{\cos bx}}{x^{2}}=\frac{b^2}{2m}$
Vậy
$L=\frac{a^2m+b^2n}{2mn}$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

5.
Xác suất để cả $4$ học sinh đều là nữ $\frac{C_{10}^4}{C_{25}^4}$
Xác suất để cả $4$ học sinh đều là nam $\frac{C_{15}^4}{C_{25}^4}$
Vậy xác suất cần tìm là  $1-\frac{C_{10}^4}{C_{25}^4}-\frac{C_{15}^4}{C_{25}^4}$

4. Trước hết ta tính xác suất để rút sao cho được hai thẻ có tổng nhỏ hơn $3$. Và chỉ thể tổng bằng $2$ với trường hợp hai thẻ đều ghi số $1$. Như vậy ta có xác suất là $\frac{1}{5 \times 5}=\frac{1}{25}$.
Vậy xác suất cần tìm là $1-\frac{1}{25}=\frac{24}{25}$

2.
$5C_n^{n-1}=C_n^3\Leftrightarrow 5n=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}\Leftrightarrow (n-1)(n-2)=30\Leftrightarrow n^2-3n-18=0\Leftrightarrow n=6$
Ta có
$\left ( \frac{nx^2}{14} -\frac{1}{x}\right )^n=\left ( \frac{3x^2}{7} -\frac{1}{x}\right )^6=\sum_{k=0}^{6}C_6^k\left ( \frac{3x^2}{7} \right )^k\left ( -\frac{1}{x} \right )^{6-k}=\sum_{k=0}^{6}(-1)^{6-k}C_6^k\left ( \frac{3}{7} \right )^kx^{3k-6}$
 Ta thấy rằng không có giá trị nào của $k \in \left\{ {0,1,2,3,4,5,6} \right\}$ để $3k-6=5$ nên hệ số của $x^5$ trong khai triển trên là $0$.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết