Áp dụng công thức $2\sin a \cos b = \sin(b+a)-\sin(b-a)$Ta có $2\sin \dfrac{x}{2}=2\sin \dfrac{x}{2}$$2\sin \dfrac{x}{2}\cos x= \sin \dfrac{3x}{2}-\sin \dfrac{x}{2}$$2\sin \dfrac{x}{2}\cos 2x= \sin \dfrac{5x}{2}-\sin \dfrac{3x}{2}$$\cdots$$2\sin \dfrac{x}{2}\cos (n-1)x= \sin \dfrac{(2n-1)x}{2}-\sin \dfrac{(2n-3)x}{2}$$2\sin \dfrac{x}{2}\cos nx= \sin \dfrac{(2n+1)x}{2}-\sin \dfrac{(2n-1)x}{2}$ Cộng theo từng vế các đẳng thức này và rút gọn các hạng tử đồng dạng ta được$2\sin \dfrac{x}{2}\left (1+\cos x+\cos 2x+\ldots+\cos nx \right )=\sin \dfrac{(2n+1)x}{2}+\sin \dfrac{x}{2}$$2\sin \dfrac{x}{2}\left (1+\cos x+\cos 2x+\ldots+\cos nx \right )=2\sin \dfrac{(2n+2)x}{4}\cos \dfrac{2nx}{4}$ $2\sin \dfrac{x}{2}\left (1+\cos x+\cos 2x+\ldots+\cos nx \right )=\sin \dfrac{(n+1)x}{2}\cos \dfrac{nx}{2}$ Từ đây có đpcm.

Áp dụng công thức $2\sin a \cos b = \sin(b+a)-\sin(b-a)$Ta có $2\sin \dfrac{x}{2}=2\sin \dfrac{x}{2}$$2\sin \dfrac{x}{2}\cos x= \sin \dfrac{3x}{2}-\sin \dfrac{x}{2}$$2\sin \dfrac{x}{2}\cos 2x= \sin \dfrac{5x}{2}-\sin \dfrac{3x}{2}$$\cdots$$2\sin \dfrac{x}{2}\cos (n-1)x= \sin \dfrac{(2n-1)x}{2}-\sin \dfrac{(2n-3)x}{2}$$2\sin \dfrac{x}{2}\cos nx= \sin \dfrac{(2n+1)x}{2}-\sin \dfrac{(2n-1)x}{2}$ Cộng theo từng vế các đẳng thức này và rút gọn các hạng tử đồng dạng ta được$2\sin \dfrac{x}{2}\left (1+\cos x+\cos 2x+\ldots+\cos nx \right )=\sin \dfrac{(2n+1)x}{2}+\sin \dfrac{x}{2}$$2\sin \dfrac{x}{2}\left (1+\cos x+\cos 2x+\ldots+\cos nx \right )=2\sin \dfrac{(2n+2)x}{4}\cos \dfrac{2nx}{4}$ $\sin \dfrac{x}{2}\left (1+\cos x+\cos 2x+\ldots+\cos nx \right )=\sin \dfrac{(n+1)x}{2}\cos \dfrac{nx}{2}$ Từ đây có đpcm.

Giải giúp mình bài tích phân sau

$I=\int\limits_{1}^{e}\frac{xlnx}{(x+1)^2}dx$

Tích phân

Giải giúp mình bài tích phân sau

$I=\int\limits_{1}^{e}\dfrac{x\ln x}{(x+1)^2}dx$

Tích phân

tinh tich phan hay va kho

Tích phân $\int\limits_{0}^{1}\frac{x^{2}-2x+5}{\sqrt{3+2x-x^{2}}}dx$

Tích phân hàm phân thức

tinh tich phan hay va kho

Tích phân $\int\limits_{0}^{1}\dfrac{x^{2}-2x+5}{\sqrt{3+2x-x^{2}}}dx$

Tích phân hàm phân thức

Giới hạn hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos^{3} x}{xsinx} $

Giới hạn của hàm số

Giới hạn hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos^{3} x}{x\sin x} $

Giới hạn của hàm số

Cộng theo từng vế hai PT ta được$x^4 +x^2y^2 - x^2 + xy = 0\Leftrightarrow x^3 +xy^2 - x + y = 0$, dễ thấy rằng $x\neq 0$.Coi đây như PT bậc hai với $y$ tham số $x$ và thấy $\Delta=1-4x(x^3-x)=(2x^2+1)^2$Suy ra $\left[ {\begin{matrix} y =- \frac {x^2+1} {x}\\ y = x \end{matrix}} \right.$. Thay điều này vào PT thứ hai ta được$y=x \Rightarrow x^4=-1$, vô nghiệm.$y =- \frac {x^2+1} {x}\Rightarrow (x^2-1)x^2((x^2+1)^2+2)=0$. ta có $(x,y) = (\pm 1,0)$.

Cộng theo từng vế hai PT ta được$x^4 +x^2y^2 - x^2 + xy = 0\Leftrightarrow x^3 +xy^2 - x + y = 0\quad (1)$, dễ thấy rằng $x\neq 0$.Mặt khác từ pt thứ hai $x^3y-x^2+xy=-1\Rightarrow y(x^3+x)=x^2-1\Rightarrow y=\dfrac{x^2-1}{x^3+x}$Thay điều này vào PT $(1)$ ta được$x^3 +x\left ( \dfrac{x^2-1}{x^3+x} \right )^2 - x + \dfrac{x^2-1}{x^3+x} = 0\Leftrightarrow x(x^2-1)(x^4+2x^3+3)=0$Vậy ta có $(x,y) = (\pm 1,0)$.

c) Với mọi số tự nhiên $k$ thì ta biết $\quad\dfrac{2}{k(k+2)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+2}$Do đó $2u_n=\frac{2}{1.3}+\frac{2}{2.4}+...+\frac{2}{n(n+2)}=\left ( \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3} \right )+\left ( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4} \right )+\ldots+\left ( \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2} \right )$$2u_n=\left (1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{n} \right )-\left (\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{n+2} \right )$$2u_n=\left (1+\dfrac{1}{2} \right )-\left (\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2} \right )$ $2u_n=\dfrac{n (5+3 n)}{2 (1+n) (2+n)}$ $u_n=\dfrac{n (5+3 n)}{4 (1+n) (2+n)}$ Ta sẽ chứng minh $0 <u_n \le \dfrac{3}{4}$.Làm tương tự như câu a và b ta có được điều này.

c) Với mọi số tự nhiên $k$ thì ta biết $\quad\dfrac{2}{k(k+2)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+2}$Do đó $2u_n=\frac{2}{1.3}+\frac{2}{2.4}+...+\frac{2}{n(n+2)}=\left ( \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3} \right )+\left ( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4} \right )+\ldots+\left ( \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2} \right )$$2u_n=\left (1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{n} \right )-\left (\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{n+2} \right )$$2u_n=\left (1+\dfrac{1}{2} \right )-\left (\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2} \right )$ $2u_n=\dfrac{n (5+3 n)}{2 (1+n) (2+n)}$ $u_n=\dfrac{n (5+3 n)}{4 (1+n) (2+n)}$ Ta sẽ chứng minh $\dfrac{1}{4} <u_n &lt; \dfrac{3}{4}$.Thật vậy$\dfrac{n (5+3 n)}{4 (1+n) (2+n)}< \dfrac{3}{4}\Leftrightarrow n (5+3 n) &lt;3(1+n) (2+n)$$\Leftrightarrow 3n^2+5n &lt; 3n^2+9n+6\Leftrightarrow 0 < 4n+6$, luôn đúng. $\dfrac{n (5+3 n)}{4 (1+n) (2+n)}>\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow n (5+3 n) >(1+n) (2+n)$$\Leftrightarrow 3n^2+5n > n^2+3n+2\Leftrightarrow 2n^2+2n > 2$, luôn đúng.

dãy số

xét tính bị chặn của dãy số sau $u_{n}=(-1)^{n}\frac{2n}{n+1}cos(n+1)$

Dãy số

dãy số

xét tính bị chặn của dãy số sau $u_{n}=(-1)^{n}\dfrac{2n}{n+1}\cos(n+1)$

Dãy số

1) PT $\Leftrightarrow 6\sin^2 x -\sin x \cos x -\cos^2 x+\sin 2x.\sqrt 3+\cos 2x+2\cos^2x=0$$\Leftrightarrow 6\sin^2 x -\sin x \cos x -\cos^2 x+2\sqrt 3\sin x \cos x+\cos^2x-\sin^2 x +2\cos^2x=0$ $\Leftrightarrow 5\sin^2 x +(2\sqrt 3-1)\sin x \cos x +2\cos^2 x=0$ Áp dụng BĐT Cô-si ta có $5\sin^2 x +2\cos^2 x \ge 2\sqrt{5\sin^2 x .2\cos^2 x}=2\sqrt{10}|\sin x \cos x | \ge(1-2\sqrt 3)|\sin x \cos x | \ge (1-2\sqrt 3)\sin x \cos x$Suy ra $5\sin^2 x +(2\sqrt 3-1)\sin x \cos x +2\cos^2 x \ge 0$Và nó chỉ xảy ra dấu bằng khi $\begin{cases}5\sin^2 x +2\cos^2 x =0 \\ \sin x \cos x=0 \end{cases} \Leftrightarrow \sin x= \cos x=0$ Điều này vô lý vì $\sin^2 x +\cos^2 x =1$. Vậy PT đã cho vô nghiệm.

1) PT $\Leftrightarrow 6\sin^2 x -\sin x \cos x -\cos^2 x+\sin 2x.\sqrt 3+\cos 2x+2\cos^2x=0$$\Leftrightarrow 6\sin^2 x -\sin x \cos x -\cos^2 x+2\sqrt 3\sin x \cos x+\cos^2x-\sin^2 x +2\cos^2x=0$ $\Leftrightarrow 5\sin^2 x +(2\sqrt 3-1)\sin x \cos x +2\cos^2 x=0$+ Nếu $\cos x =0\Rightarrow \sin x =0$. Điều này vô lý vì $\sin^2 x +\cos^2 x =1$.+Xét $\cos x \ne 0$. Chia hai vế của PT trên cho $\cos^2 x$ ta được $\Leftrightarrow 5\left ( \dfrac{\sin x}{\cos x}\right )^2 +(2\sqrt 3-1)\left ( \dfrac{\sin x}{\cos x}\right ) +2=0$ $\Leftrightarrow 5\tan^2 x +(2\sqrt 3-1)\tan x +2=0$ PT này vô nghiệm.Vậy PT đã cho vô nghiệm.

+ Nếu một trong năm số $a,b,c,d,e$ bằng $1$ thì suy ra $a=b=c=d=e=1.$+ Không mất tính tổng quát giả sử $a >1$. Từ $a^b=b^c \Rightarrow b>1.$ Tương tự như vậy $c,d,e >1$. Như vậy tất cả các hàm mũ mà $a,b,c,d,e$ là cơ số thì đều là hàm tăng.Không mất tính tổng quát giả sử $a \le b.$Từ $a^b=b^c \Rightarrow \dfrac{a^b}{b^b}=\dfrac{b^c}{b^b}\Rightarrow \left ( \dfrac{a}{b} \right )^b=b^{c-b}$Do $\dfrac{a}{b} \le 1 \Rightarrow b^{c-b} \le 1=b^0\Rightarrow c -b\le 0 \Rightarrow c \le b.$Tương tự như vậy với các đẳng thức còn lại ta thu được$$ a \le b \le c \le d \le e \le a$$Vậy phải có $a=b=c=d=e$.

+ Nếu một trong năm số $a,b,c,d,e$ bằng $1$ thì suy ra $a=b=c=d=e=1.$+ Không mất tính tổng quát giả sử $a >1$. Từ $a^b=b^c \Rightarrow b>1.$ Tương tự như vậy $c,d,e >1$. Như vậy tất cả các hàm mũ mà $a,b,c,d,e$ là cơ số thì đều là hàm tăng.Không mất tính tổng quát giả sử $a \le b.$Từ $a^b=b^c \Rightarrow \dfrac{a^b}{b^b}=\dfrac{b^c}{b^b}\Rightarrow \left ( \dfrac{a}{b} \right )^b=b^{c-b}$Do $\dfrac{a}{b} \le 1 \Rightarrow b^{c-b} \le 1=b^0\Rightarrow c -b\le 0 \Rightarrow c \le b.$Tương tự như vậy với các đẳng thức còn lại $\begin{cases}c \le b \\ b^c=c^d \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\dfrac{b}{c} \ge 1 \\ \left ( \dfrac{b}{c} \right )^c=c^{d-c} \end{cases}\Rightarrow c \le d$$\begin{cases}c \le d \\ c^d=d^e \end{cases}\Rightarrow \ldots \Rightarrow e \le d$$\begin{cases}e \le d \\ d^e=e^a \end{cases}\Rightarrow \ldots \Rightarrow e \le a$$\begin{cases}e \le a \\ e^a=a^b \end{cases}\Rightarrow \ldots \Rightarrow b \le a$kết hợp $a \le b$ và $b \le a$ ta có $a=b$. Tiếp tục như vậy $b=c,c=d,d=e.$Vậy phải có $a=b=c=d=e$.

Giúp mình bài quy nạp này với !!!

CMR với mọi số nguyên dương n\geq 2. 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{nx^{2}}<2-\frac{1}{n}

Quy nạp toán học

Giúp mình bài quy nạp này với !!!

CMR với mọi số nguyên dương $n\geq 2$ thì $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{n^{2}}<2-\frac{1}{n}$

Quy nạp toán học

giới hạn

\mathop {\lim }\limits_{x \to\pi }\(sin 3x)/(sin5x)

Giới hạn của hàm số

giới hạn

$L=\mathop {\lim }\limits_{x \to\pi }\dfrac{\sin 3x}{\sin 5x}$

Giới hạn của hàm số

dãy số

xét tính bị chặn của các dãy số saua, $u_{n}=\frac{2n-3}{3n+1}$b, $\frac{n^{2}+5}{3n^{2}-2}$c $u_{n}=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.4}+...+\frac{1}{n(n+2)}$d$\frac{n-1}{\sqrt{n^{2}+2}}$

Dãy số

dãy số

xét tính bị chặn của các dãy số saua, $u_{n}=\dfrac{2n-3}{3n+1}$b, $\dfrac{n^{2}+5}{3n^{2}-2}$c, $u_{n}=\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{2.4}+...+\dfrac{1}{n(n+2)}$d ,$\dfrac{n-1}{\sqrt{n^{2}+2}}$

Dãy số

giúp với

tìm 5 số hạng đầu và dự đoán công thức tính số hạng tổng quát của dãy số sau và chứng minh công thức đó bằng quy nạp:a, dãy số $U_{n}$ xác định bởi $\begin{cases}u_{1}=3 \\ u_{n}=\frac{1}{2}(u_{n-1}+1) \end{cases}$ với $n\geq2$b, dãy số $U_{n}$ xác định bởi $\begin{cases}u_{1}=\sqrt{2} \\ u_{n+1}=\sqrt{u_{2}+2} \end{cases}$ với $n\geq 1$

Dãy số

giúp với

tìm 5 số hạng đầu và dự đoán công thức tính số hạng tổng quát của dãy số sau và chứng minh công thức đó bằng quy nạp:a, dãy số $U_{n}$ xác định bởi $\begin{cases}u_{1}=3 \\ u_{n}=\frac{1}{2}(u_{n-1}+1) \end{cases}$ với $n\geq2$b, dãy số $U_{n}$ xác định bởi $\begin{cases}u_{1}=\sqrt{2} \\ u_{n+1}=\sqrt{u_{n}+2} \end{cases}$ với $n\geq 1$

Dãy số

Giải phương trình mũ

(x+3)^{x+1}=16

Phương trình mũ

Giải phương trình mũ

$(x+3)^{x+1}=16$

Phương trình mũ

Dãy số

Cho (U_{n}), U_{n} = \frac{2}{n^{2} + 4n + 3}. Tính tổng S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n-1} + u^{n}.

Dãy số

Dãy số

Cho $ U_{n} = \frac{2}{n^{2} + 4n + 3}$. Tính tổng $S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n-1} + u_{n}.$

Dãy số