Ta sẽ chứng minh bài toán trên không đúng.
Theo định lý Vi-et ta có
$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=-b/a=m^3+3 \\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=c/a=m^2+3\\x_1x_2x_3=-d/a=1 \end{cases}$
Giả sử $x_1,x_2,x_3$ lập thành cấp số nhân theo thứ tự này, suy ra $x_1x_3=x_2^2$
Như vậy $x_2^3=x_1x_2x_3=1\Rightarrow x_2=1.$
Giả sử bài toán đúng với mọi $m$ nên với $m=-1$ cũng đúng, kết hợp với $x_2=1$ ta được
$\begin{cases}x_1+x_3=1 \\x_1+x_3+x_3x_1=4\\x_1x_3=1 \end{cases}$
 Đây là điều vô lý vì $x_1+x_3+x_3x_1=1+1=2 \ne 4$

Nhắc lại không chứng minh kết quả sau
$\int\limits\dfrac{1}{1-z^2}dz=\dfrac{1}{2}\ln\left| {\dfrac{1+z}{1-z}} \right|+C$
 Ta có
$\dfrac{x^{2}+1}{x\sqrt{3x+1}}=\dfrac{x^{2}}{x\sqrt{3x+1}}+\dfrac{1}{x\sqrt{3x+1}}$
$\dfrac{x^{2}+1}{x\sqrt{3x+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{3x+1}}+\dfrac{1}{x\sqrt{3x+1}}$
 $\dfrac{x^{2}+1}{x\sqrt{3x+1}}=\dfrac{(3x-2)+2(3x+1)}{9\sqrt{3x+1}}-\dfrac{3}{1-(3x+1)}.\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}$
  $\dfrac{x^{2}+1}{x\sqrt{3x+1}}=\dfrac{(3x-2)}{9\sqrt{3x+1}}+\dfrac{2(3x+1)}{9\sqrt{3x+1}}-\dfrac{1}{1-(3x+1)}.\dfrac{3}{\sqrt{3x+1}}$
   $\dfrac{x^{2}+1}{x\sqrt{3x+1}}=\dfrac{2}{27}(3x-2)\left ( \sqrt{3x+1} \right )'+\dfrac{2}{27}(3x-2)'\left ( \sqrt{3x+1} \right )-2.\dfrac{1}{1-(3x+1)}\left ( \sqrt{3x+1} \right )'$
    $\dfrac{x^{2}+1}{x\sqrt{3x+1}}=\left[ {\dfrac{2}{27}(3x-2)\left ( \sqrt{3x+1} \right )} \right]'-2.\dfrac{1}{1-(3x+1)}\left ( \sqrt{3x+1} \right )'$
Suy ra 
 $\int\limits_{1}^{5}\dfrac{x^{2}+1}{x\sqrt{3x+1}}dx=\left[ {\dfrac{2}{27}(3x-2)\left ( \sqrt{3x+1} \right )} \right]_{1}^{5}-2\int\limits_{1}^{5}\dfrac{1}{1-(3x+1)}d\left ( \sqrt{3x+1} \right )$
  $\int\limits_{1}^{5}\dfrac{x^{2}+1}{x\sqrt{3x+1}}dx=\left[ {\dfrac{2}{27}(3x-2)\left ( \sqrt{3x+1} \right )} \right]_{1}^{5}-2\left[ {\dfrac{1}{2}\ln\left| {\dfrac{1+\sqrt{3x+1} }{1-\sqrt{3x+1} }} \right|} \right]_{1}^{5}$
 $\boxed{\int\limits_{1}^{5}\dfrac{x^{2}+1}{x\sqrt{3x+1}}dx=\dfrac{100}{27}+\ln\dfrac{9 }{5}}$

Máy tính FX 570ES có hỗ trợ tìm $x$ trong các PT bậc nhất rất hiệu quả, cụ thể là các bài toán dạng trên. Để thực hiện thao tác này trong máy, bạn nhập dể hiển thị giống hệt như trên.
Chú ý rằng
để nhập kí tự $x$ thì ta ấn "ALPHA" và  ")"
để nhập ký tự $"="$ thì ta ấn "ALPHA" và  "CALC"
 Sau khi đã nhập xong và được PT như trên ta ấn "SHIFT" và  "CALC" và "="
Bạn sẽ thu được nghiệm $x$.

Từ điều kiện bài toán suy ra
$\frac{1}{x+1}=1-\frac{1}{y+1}+1-\frac{1}{z+1}=\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{yz}{(y+1)(z+1)}}$
Tương tự:
$\frac{1}{y+1}\ge2\sqrt{\frac{xz}{(x+1)(z+1)}}$
$\frac{1}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{xy}{(x+1)(y+1)}}$
Nhân $3$ BĐT và rút gọn ta được  ta được: $xyz\le\frac{1}{8}$, đpcm.
Đẳng thức xảy ra  $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}$

Em xem tại đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/115555/cap-so-nhan

b)  Đặt $(C_1): y=\left| {x^2-1} \right|, \quad(C_2): y=|x|+5$
Vì các hàm số trên đều là hàm chẵn với $x$ nên các đồ thị này có trục đối xứng là trục tung. Ta có thể thấy rằng theo tính chất đối xứng thì diện tích cần tìm bằng hai lần diện tích nằm ở góc phần tư thứ nhất, tức là với $x \ge 0.$
Khi đó chỉ cần xét $S' : (C'_1): y=\left| {x^2-1} \right|, \quad(C'_2): y=x+5$
Ta có:
$(C'_1) \cap (C'_2) :\left| {x^2-1} \right|=x+5 \Leftrightarrow (x^2-1)^2=(x+5)\Leftrightarrow (x^2+x+4)(x^2-x-6)=0\Leftrightarrow x=3$
$(C'_1) \cap (Ox) : x^2-1=0 \Leftrightarrow x=1$
Suy ra
$S=2S'=2\int\limits_{0}^{1}\left[ {(x+5)-(1-x^2)} \right]dx+2\int\limits_{1}^3\left[ {(x+5)-(x^2-1)} \right]dx$
    $=2\int\limits_{0}^{1}(x^2+x+4)dx-2\int\limits_{1}^3(x^2-x-6)dx$
    $=\dfrac{29}{3} +\dfrac{44}{3} =\dfrac{73}{3} $

b)