PT
$\Leftrightarrow   (\sqrt[3]{x-1} + \sqrt[3]{x+1})^3= (x\sqrt[3]{2})^3  $
$\Leftrightarrow   x-1+x+1+3\sqrt[3]{x-1}.\sqrt[3]{x+1}(\underbrace{\sqrt[3]{x-1} + \sqrt[3]{x+1}}_{x\sqrt[3]{2}})= 2x^3  $
 $\Leftrightarrow  2x+3\sqrt[3]{x^2-1}.x\sqrt[3]{2}= 2x^3  $
  $\Leftrightarrow  2x+3x\sqrt[3]{2x^2-2}= 2x^3  $
   $\Leftrightarrow  \left[ {\begin{matrix} x=0\\ 2+3\sqrt[3]{2x^2-2}= 2x^2\end{matrix}} \right.  $
    $\Leftrightarrow  \left[ {\begin{matrix} x=0\\ 3\sqrt[3]{2x^2-2}= 2x^2-2\end{matrix}} \right.  $
 $\Leftrightarrow  \left[ {\begin{matrix} x=0\\ 3(2x^2-2)= (2x^2-2)^3\end{matrix}} \right.  $
 $\Leftrightarrow  \left[ {\begin{matrix} x=0\\ 2x^2-2=0\\3= (2x^2-2)^2\end{matrix}} \right.  $
 $\Leftrightarrow  \left[ {\begin{matrix} x=0\\ x=\pm 1\\\pm \sqrt 3= 2x^2-2\end{matrix}} \right.  $
 $\Leftrightarrow  \left[ {\begin{matrix} x=0\\ x=\pm 1\\2x^2=2\pm \sqrt 3\end{matrix}} \right.  $
 $\Leftrightarrow  \left[ {\begin{matrix} x=0\\ x=\pm 1\\x=\pm\sqrt {\dfrac{2\pm \sqrt 3}{2}}\end{matrix}} \right.  $

Điều kiện $1/2 \le x \le 4.$
Nhận thấy $x=1$ là nghiệm của PT.
Xét $x>1$. Ta có
$\sqrt{2x-1 } +  \sqrt{x^{2} + 3 } >\sqrt{2.1-1 } +  \sqrt{1^{2} + 3 } = 1+2=3 > 4-x $
Xét $x<1$. Ta có
$\sqrt{2x-1 } +  \sqrt{x^{2} + 3 } <\sqrt{2.1-1 } +  \sqrt{1^{2} + 3 } = 1+2=3 < 4-x $
 Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất $x=1.$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

b) Ta cần tìm $A,B,C$ là các hằng số sao cho
      $\dfrac{1}{(x-1)(x^2-x+1)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{Bx+C}{x^2-x+1} \quad \forall x \ne 1$
$\Leftrightarrow\dfrac{1}{(x-1)(x^2-x+1)}=\dfrac{A(x^2-x+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2-x+1)}\quad \forall x \ne 1$
$\Leftrightarrow1=A(x^2-x+1)+(Bx+C)(x-1) \quad \forall x \ne 1$
$\Leftrightarrow 0x^2+0x +1=x^2(A+B)+x(-A-B+C)+(A-C) \quad \forall x \ne 1$
Do đẳng thức trên đúng với mọi $x \ne 1$ nên các hệ số tương ứng phải bằng nhau, tức là
$\begin{cases}A+B=0 \\ -A-B+C=0\\A-C=1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}C=0 \\ B=-1\\A=1 \end{cases}$

Cách 2

Cách 1

Ta có
$E =(3.10^1+1)+(3.10^2+1)+(3.10^3+1)+...+(3.10^n+1)$
$E =3.(10+10^2+10^3+...+10^n)+1+1+...+1$
 $E =30.(1+10^1+10^2+...+10^{n-1})+n$
  $E =30.\dfrac{10^{n}-1}{10-1}+n$
 $E =30.\dfrac{10^{n}-1}{9}+n$

a) Ta cần tìm $A,B,C$ là các hằng số sao cho
      $\dfrac{10x - 4}{x^{3} - 4x}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-2}+\dfrac{C}{x+2} \quad \forall x \notin \left\{ {0,2,-2} \right\}$
$\Leftrightarrow \dfrac{10x - 4}{x^{3} - 4x}=\dfrac{A(x-2)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x-2)}{x^{3} - 4x}\quad \forall x \notin \left\{ {0,2,-2} \right\}$
 $\Leftrightarrow10x - 4=A(x-2)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x-2) \quad \forall x \notin \left\{ {0,2,-2} \right\}$
 $\Leftrightarrow10x - 4=A(x^2-4)+B(x^2+2x)+C(x^2-2x) \quad \forall x \notin \left\{ {0,2,-2} \right\}$
$\Leftrightarrow 0x^2+10x - 4=x^2(A+B+C)+x(2B-2C)-4A \quad \forall x \notin \left\{ {0,2,-2} \right\}$
Do đẳng thức trên đúng với mọi $x \notin \left\{ {0,2,-2} \right\}$ nên các hệ số tương ứng phải bằng nhau, tức là
$\begin{cases}A+B+C=0 \\ 2B-2C=10\\-4A=-4 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}C=-3 \\ B=2\\A=1 \end{cases}$