$L=\mathop {\lim }\limits_{ } (\sqrt[3]{n^{3 } -2n^{2}} -n)$
$L=\lim \dfrac{n^{3 } -2n^{2}-n^3}{\sqrt[3]{(n^{3 } -2n^{2})^2}+n\sqrt[3]{n^{3 } -2n^{2}} +n^2}$
$L=\lim \dfrac{-2n^{2}}{\sqrt[3]{(n^{3 } -2n^{2})^2}+n\sqrt[3]{n^{3 } -2n^{2}} +n^2}$
$L=\lim \dfrac{-2}{\dfrac{1}{n^2}.\sqrt[3]{(n^{3 } -2n^{2})^2}+\dfrac{1}{n^2}.n\sqrt[3]{n^{3 } -2n^{2}} +\dfrac{1}{n^2}.n^2}$
 $L=\lim \dfrac{-2}{\sqrt[3]{\dfrac{(n^{3 } -2n^{2})^2}{n^6}}+\sqrt[3]{\dfrac{n^{3 } -2n^{2}}{n^3}} +1}$
 $L= \dfrac{-2}{\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{1} +1}$
 $L= \dfrac{-2}{3}$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Giả sử $a,b,c>0$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công sai $q > 0.$
Suy ra có thể viết $b=aq, c=aq^2.$
Ta có
$A=\dfrac{1}{3}(a+b+c)=\dfrac{1}{3}(a+aq+aq^2)=\dfrac{1}{3}a(1+q+q^2)$
$B=\sqrt{\dfrac{1}{3}(ab+bc+ca)}=\sqrt{\dfrac{1}{3}(a^2q+a^2q^3+a^2q^2)}=\sqrt{\dfrac{1}{3}a^2q(1+q+q^2)}$
 $C= \sqrt[3]{abc}= \sqrt[3]{a.aq.aq^2}= \sqrt[3]{a^3q^3}=aq$
 Ta thấy rằng
$AC=\dfrac{1}{3}a^2q(1+q+q^2)=B^2$
Theo định nghĩa của cấp số nhân suy ra $A,B,C$ thứ tự lập thành một cấp số nhân, đpcm.

BPT
$\Leftrightarrow (x+2)^2(x^2+4x) \le 5$
$\Leftrightarrow (x^2+4x+4)(x^2+4x) \le 5$
$\Leftrightarrow (x^2+4x)^2+4(x^2+4x)-5 \le 0$
 $\Leftrightarrow \left[ {(x^2+4x)+5} \right]\left[ {(x^2+4x)-1} \right] \le 0$
 Do $(x^2+4x)+5 =(x+2)^2+1 >0 \quad \forall x$, do đó
BPT
$\Leftrightarrow x^2+4x-1 \le 0$
$\Leftrightarrow -2-\sqrt 5 \le x \le -2+\sqrt 5$

5.
BPT $\Leftrightarrow 4x^2-4x-2+3 \le 0\Leftrightarrow 4x^2-4x+1 \le 0\Leftrightarrow (2x-1)^2 \le 0$
Mặt khác ta có $(2x-1)^2 \ge 0$ với nọi $x$. Như vậy phải có
$(2x-1)^2= 0 \iff x =\dfrac{1}{2}$