4. Xét các trường hợp
+ $x \le 0\Rightarrow \begin{cases}|x|=-x \\ |x-1|= 1-x\end{cases}$
Như vậy BPT $\Leftrightarrow -2x+1-x <5\Leftrightarrow -4<3x\implies -\dfrac{4}{3}<x \le 0$
+ $0<x<1\Rightarrow \begin{cases}|x|=x \\ |x-1|= 1-x\end{cases}$
Như vậy BPT $\Leftrightarrow 2x+1-x <5\Leftrightarrow x<4\implies 0<x<1$
 + $x \ge 1\Rightarrow \begin{cases}|x|=x \\ |x-1|= x-1\end{cases}$
Như vậy BPT $\Leftrightarrow 2x+x-1 <5\Leftrightarrow 3x<6\Leftrightarrow x<2\implies 1 \le x<2$
 Kết hợp ba trường hợp ta được $ -\dfrac{4}{3}<x<2$

2,
+ Xét $x \ge 4$, BPT $\Leftrightarrow x-4 < x^2+x+1 \Leftrightarrow x^2+5>0$, luôn đúng với mọi $x$.
+ Xét $x < 4$,
BPT $\Leftrightarrow 4-x < x^2+x+1 \Leftrightarrow x^2+2x-3>0\Leftrightarrow \begin{cases}(x+3)(x-1)>0 \\ x<4\end{cases}\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} 1<x<4\\ x < -3 \end{matrix}} \right.$

7.
BPT $\Leftrightarrow (x-2)(x-1)(x+1)>0$
Lập bảng xét dấu và ta có $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x>2\\ -1<x<1 \end{matrix}} \right.$.

Gọi $q$ là công sai của cấp số nhân. Ta có
$8u_2-5\sqrt 5 u_5 = 0\Rightarrow 8.u_1q-5\sqrt 5 u_1q^4 = 0\Rightarrow u_1q(8-5\sqrt 5 q^3)= 0$
Hiển nhiên thấy $u_1 \ne 0, q \ne 0$ vì nếu ngược lại cấp số nhân này chỉ toàn những số $0$, và nó vô lý với điều kiện thứ hai.
Từ đây suy ra $8-5\sqrt 5 q^3=0\Rightarrow q^3=\dfrac{8}{5\sqrt 5}=\left ( \dfrac{2}{\sqrt 5} \right )^3\Rightarrow q=\dfrac{2}{\sqrt 5}$
Từ
$u_1^3+u_3^3=189\Rightarrow u_1^3+q^6u_1^3=189\Rightarrow u_1^3=\dfrac{189}{1+\left ( \dfrac{2}{\sqrt 5} \right )^6}=125\Rightarrow u_1=5$.
Thep công thức tính tổng ta có
$S_{12}=u_1.\dfrac{1-q^{12}}{1-q}=5\dfrac{1-\left ( \dfrac{2}{\sqrt 5} \right )^{12}}{1-\left ( \dfrac{2}{\sqrt 5} \right )}$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Bài 3.
Từ PT thứ nhất suy ra $y=mx-2m.$
Thay vào PT thứ hai ta được
      $4x-  m(mx-2m)=m+6$
$\Leftrightarrow 4x-m^2x+2m^2=m+6$
$\Leftrightarrow x(m^2-4)=2m^2-m-6$
$\Leftrightarrow x(m-2)(m+2)=(2m+3)(m-2) \qquad (*)$
Nếu $m=2$ thì $(*) \Leftrightarrow Ox=0$, pt này vô số nghiệm thỏa mãn $y=mx-2m=2x-4.$
Nếu $m=-2$ thì $(*) \Leftrightarrow Ox=-4$, pt này vô nghiệm.
 Nếu $m\ne2,-2$ thì $(*) \Leftrightarrow x=\dfrac{2m+3}{m+2}$. Thay trở lại để tìm ra $y=mx-2m=-\dfrac{m}{m+2}$
Như vậy trong trường hợp này hệ có nghiệm duy nhất
$x=\dfrac{2m+3}{m+2}$
$y=-\dfrac{m}{m+2}$

Bài 1.
Từ PT thứ nhất suy ra $2y=m+1-mx\Rightarrow y=\dfrac{m+1-mx}{2}$
Thay vào PT thứ hai ta được
      $2x + m.\dfrac{m+1-mx}{2}=2m-1$
$\Leftrightarrow 4x+m^2+m-m^2x=4m-2$
$\Leftrightarrow x(m^2-4)=m^2-3m+2$
$\Leftrightarrow x(m-2)(m+2)=(m-2)(m-1) \qquad (*)$
Nếu $m=2$ thì $(*) \Leftrightarrow Ox=0$, pt này vô số nghiệm.
Nếu $m=-2$ thì $(*) \Leftrightarrow Ox=12$, pt này vô nghiệm.
 Nếu $m\ne2,-2$ thì $(*) \Leftrightarrow x=\dfrac{m-1}{m+2}$. Thay trở lại để tìm ra $y=\dfrac{m+1-mx}{2}=\dfrac{2m+1}{m+2}$
Như vậy trong trường hợp này hệ có nghiệm duy nhất
$x=\dfrac{m-1}{m+2}=1-\dfrac{3}{m+2},$
$y=\dfrac{2m+1}{m+2}=2-\dfrac{3}{m+2}$.
Và ta cần tìm $m \in \mathbb Z $ sao cho $x,y \in \mathbb Z.$
Nhìn vào công thức nghiệm thì ta phải có
$\dfrac{3}{m+2}\in \mathbb Z\Leftrightarrow m+2 \in \left\{ {-1,1,3,-3} \right\}\Leftrightarrow m \in \left\{ {-3,-1,1,-5} \right\}$
Các giá trị này thỏa mãn $m \ne 2,-2.$
Vậy $\boxed{m \in \left\{ {-3,-1,1,-5} \right\}}$.

1b) Gọi $P$ là trung điểm của $B'C'$ thì dễ thấy $MP \parallel BB' \Rightarrow MP\parallel A'A$
Mặt khác
$\dfrac{AG_3}{AP}=\dfrac{AG_2}{AM}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow G_3G_2 \parallel MP \Rightarrow G_3G_2 \parallel (BCC'B')$
Kết hợp với câu a) ta suy ra $(G_1G_3G_2) \parallel (BCC'B')$