PT
$\Leftrightarrow \sin\left(\dfrac{\pi }{3}-4x\right)+\sin\left(\dfrac{\pi }{6}+3x\right)+\sin x-\sin\dfrac{\pi }{2}=0$
$\Leftrightarrow 2\sin\left(\dfrac{\pi }{4}-\dfrac{x }{2}\right)\cos\left(\dfrac{\pi }{12}-\dfrac{7x }{2}\right)+2\cos\left(\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{x }{2}\right)\sin\left(\dfrac{\pi }{4}-\dfrac{x }{2}\right)=0$
 $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \sin\left(\dfrac{\pi }{4}-\dfrac{x }{2}\right)=0\\ \cos\left(\dfrac{\pi }{12}-\dfrac{7x }{2}\right)=-\cos\left(\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{x }{2}\right) \end{matrix}} \right.$
 $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \sin\left(\dfrac{\pi }{4}-\dfrac{x }{2}\right)=0\\ \cos\left(\dfrac{\pi }{12}-\dfrac{7x }{2}\right)=\cos\left(\pi-\dfrac{\pi }{4}-\dfrac{x }{2}\right) \end{matrix}} \right.$
 $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \sin\left(\dfrac{\pi }{4}-\dfrac{x }{2}\right)=0\\ \cos\left(\dfrac{\pi }{12}-\dfrac{7x }{2}\right)=\cos\left(\dfrac{3\pi }{4}-\dfrac{x }{2}\right) \end{matrix}} \right.$
 Đến đây đơn giản.Em tự viết nốt nghiệm nhé.

Áp dụng BĐT
$\dfrac{a_1^2}{b_1}+\dfrac{a_2^2}{b_2}+\dfrac{a_3^2}{b_3} \ge \dfrac{(a_1+a_2+a_3)^2}{b_1+b_2+b_3} \quad \forall a_i,b_i >0, i=1,2,3.$
hay viết lại dưới dạng
$\sum\dfrac{a_1^2}{b_1} \ge \dfrac{(\sum a_1)^2}{\sum b_1}$
Ta có
$A=\sum\dfrac{a^2}{a^2+(b+c)^2} \ge \sum\dfrac{a^2}{a^2+2b^2+2c^2}=\sum\dfrac{a^4}{a^4+2a^2b^2+2a^2c^2} \ge \dfrac{(\sum a^2)^2}{\sum a^4+4\sum a^2b^2}$
Ta sẽ chứng minh
$ \dfrac{(\sum a^2)^2}{\sum a^4+4\sum a^2b^2} \ge \dfrac{3}{5}\qquad (*)$
Thật vậy,
$(*) \Leftrightarrow 5(\sum a^2)^2 \ge3\left ( \sum a^4+4\sum a^2b^2 \right )\Leftrightarrow \sum a^4\ge\sum a^2b^2$, hiển nhiên đúng.
Vậy $\min A= \dfrac{3}{5}\Leftrightarrow a=b=c.$

Em xem o day nhe

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/115126/giai-cac-phuong-trinh-sau

Trước hết dùng BĐT AM-GM dễ chứng minh được các BĐT sau
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \ge \dfrac{9}{x+y+z} \qquad \forall x,y,z >0.$
và
$3(x^2+y^2+z^2) \ge (x+y+z)^2\Rightarrow \dfrac{9}{x+y+z} \ge \dfrac{ 3(x+y+z)}{x^2+y^2+z^2}\qquad \forall x,y,z >0.$
Áp dụng ta có
$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge \dfrac{9}{2(a+b+c)}\geq\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$

Cộng theo từng vế hai PT ta được
$3x^2+xy-4x+y-2=0\Leftrightarrow y(x+1)=-3x^2+4x+2\Leftrightarrow y=\dfrac{-3x^2+4x+2}{x+1}$
Thay vào PT thứ nhất ta được
$x^2+\left (\dfrac{-3x^2+4x+2}{x+1} \right )^2+x+\dfrac{-3x^2+4x+2}{x+1}-4=0$
$\Leftrightarrow 10x^4-24x^3+4x^2+15x+2=0$
Pt bậc 4 này có nghiệm không đẹp. Có lẽ là do số liệu từ đề bài. Nếu bạn muốn tìm được nghiệm chính xác thì có thể sử dụng phương pháp Cardano để giải PT bậc 4 tổng quát nhé.

Bài làm trước đây của mình chưa chuẩn lắm. Giờ sửa lại cho hoàn chỉnh nhé.

Cộng theo từng vế hai PT ta được
$x^4 +x^2y^2 - x^2 + xy = 0\Leftrightarrow x^3 +xy^2 - x + y = 0\quad (1)$, dễ thấy rằng $x\neq 0$.
Mặt khác từ pt thứ hai
$x^3y-x^2+xy=-1\Rightarrow y(x^3+x)=x^2-1\Rightarrow y=\dfrac{x^2-1}{x^3+x}$
Thay điều này vào PT $(1)$ ta được
$x^3 +x\left ( \dfrac{x^2-1}{x^3+x} \right )^2 - x + \dfrac{x^2-1}{x^3+x} = 0\Leftrightarrow x(x^2-1)(x^4+2x^3+3)=0$
Vậy  ta có  $(x,y) = (\pm 1,0)$.

Đặt $a= \dfrac{1}{x}, b= \dfrac{1}{y},c= \dfrac{1}{z} \Rightarrow xyz=1.$
Ta có
$\dfrac{2}{a^3\left(b+c\right)}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{x^3}\left(\dfrac{1}{y}+ \dfrac{1}{z}\right)}= \dfrac{2x^2}{y+z}$, do $xyz=1.$
 Như vậy
Vế trái $=\sum\dfrac{2}{a^3\left(b+c\right)}=\sum\dfrac{2x^2}{y+z}$
Áp dụng AM-GM ta có
$\dfrac{2x^2}{y+z} + \dfrac{y+z}{2} \ge 2\sqrt{\dfrac{2x^2}{y+z} . \dfrac{y+z}{2} }=2x $
Suy ra
$\sum\dfrac{2x^2}{y+z}+\sum\dfrac{y+z}{2} \ge \sum2x$
$\Leftrightarrow \sum\dfrac{2x^2}{y+z}+x+y+z \ge 2(x+y+z)$
 $\Leftrightarrow \sum\dfrac{2x^2}{y+z} \ge x+y+z $
  $\Leftrightarrow \sum\dfrac{2x^2}{y+z} \ge x+y+z \ge 3\sqrt[3]{xyz}=3$
 Vậy
$\sum\dfrac{2}{a^3\left(b+c\right)}\ge 3$, đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1.$