Ta có
$\dfrac{a^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}+\dfrac{1+a}{8}+\dfrac{1+b}{8} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}.\dfrac{1+a}{8}.\dfrac{1+b}{8}}=\dfrac{3a}{4}$
Tương tự
$\dfrac{b^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{1+c}{8}+\dfrac{1+b}{8} \ge  \dfrac{3b}{4}$
$\dfrac{c^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\dfrac{1+c}{8}+\dfrac{1+a}{8} \ge  \dfrac{3c}{4}$
 Cộng theo từng vế ba BĐT trên và rút gọn ta được
$\dfrac{a^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}+\dfrac{b^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{c^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)} \ge \dfrac{a+b+c}{2}-\dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{2}-\dfrac{3}{4}= \dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{4}= \dfrac{3}{4} $
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1.$

Áp dụng AM-GM ta có
$\dfrac{a^2}{b+2c}+\dfrac{b+2c}{9} \ge 2\sqrt{\dfrac{a^2}{b+2c}.\dfrac{b+2c}{9} }=\dfrac{2a}{3}$
Tương tự
$\dfrac{b^2}{c+2a}+\dfrac{c+2a}{9} \ge \dfrac{2b}{3}$
 $\dfrac{c^2}{a+2b}+\dfrac{a+2b}{9} \ge \dfrac{2c}{3}$
 Cộng theo từng vế ba BĐT này và rút gọn ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$

Ta có
$\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b} \ge 2\sqrt{\dfrac{1}{p-a}.\dfrac{1}{p-b}}=\dfrac{2}{\sqrt{(p-a)(p-b)}} \ge \frac{2}{\dfrac{p-a+p-b}{2}}=\dfrac{4}{c}$
Tương tự
$\dfrac{1}{p-c}+\dfrac{1}{p-b} \ge\dfrac{4}{a}$
$\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-c} \ge\dfrac{4}{b}$
 Cộng theo từng vế ba BĐT này ta có ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Giải
Ta có: \(\begin{cases}(x+y)(1+\frac{1}{xy})=5 \\ (x^2+y^2)(1+\frac{1}{x^2y^2})=49 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}(x+\frac{1}{x})+(y+\frac{1}{y})=5 \\ (x+\frac{1}{x})^2+(y+\frac{1}{y})^2=53 \end{cases}\)   (*)
Đặt \(u=x+\frac{1}{x}, v=y+\frac{1}{y}\). Khi đó hệ (*) tương đương:
\(\Leftrightarrow \begin{cases}u+v=5 \\ u^2+v^2=53 \end{cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 7,v=-2\\u = -2,v=7\end{array} \right.\)
+ Với \(\begin{cases}u=7 \\ v=-2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x+\frac{1}{x}=7 \\ y+\frac{1}{y}=-2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x^2-7x+1=0 \\ y^2+2y+1=0 \end{cases}\) 
  \(\begin{cases}x=\frac{7\pm \sqrt{45}}{2} \\ y=-1 \end{cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x=\frac{7+ \sqrt{45}}{2} \\ y=-1 \end{cases}\\\begin{cases}x= \frac{7- \sqrt{45}}{2}\\ y=-1 \end{cases}\end{array} \right.\)
+ Với \(\begin{cases}u=-2 \\ v=7 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x+\frac{1}{x}=-2 \\ y+\frac{1}{y}=7 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x^2+2x+1=0 \\ y^2-7y+1=0 \end{cases}\) 
  \(\begin{cases}x=-1 \\ y=\frac{7\pm \sqrt{45}}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x=-1 \\ y=\frac{7+ \sqrt{45}}{2} \end{cases}\\\begin{cases}x= -1\\ y=\frac{7- \sqrt{45}}{2} \end{cases}\end{array} \right.\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm $(x;y)=(\frac{7\pm \sqrt{45}}{2};-1),(-1; \frac{7\pm \sqrt{45}}{2})$

HPT
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^3-16x=y^3-4y & & \\ y^2=5x^2+4& & \end{matrix}\right.$
 Nhận thấy từ PT thứ hai thì $y \ne 0$ nên ta có
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^3-16x=y^3-4y & & \\ y^3=5x^2y+4y& & \end{matrix}\right.$
 $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^3-16x=y^3-4y & & \\ y^3-4y=5x^2y& & \end{matrix}\right.$
 Từ đây suy ra
$ x^3-16x=5x^2y\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=0\\ y=\dfrac{x^2-16}{5x} \end{matrix}} \right.$
+Nếu $x=0$, thay trở lại hệ ta có $y = \pm 2.$
+Nếu $y=\dfrac{x^2-16}{5x}$ thay trở lạiPT thứ hai ta được
$\left (\dfrac{x^2-16}{5x} \right )^2=5x^2+4\Leftrightarrow (x-1)(x+1)(31x^2+64)=0$
Vậy $(x,y) \in \left\{ {(0,2),(0,-2),(1,-3),(-1,3)} \right\}$