Bài 3a.
Áp dụng BĐT quen thuộc $ab \le \dfrac{a^2+b^2}{2}$ ta được
$S_{APHQ}=AP.AQ\le \dfrac{AP^2+AQ^2}{2}= \dfrac{PQ^2}{2}= \dfrac{AH^2}{2}\le \dfrac{AO^2}{2}= \dfrac{R^2}{2}$
Trong đó $O$ là trung điểm $BC$ nên nó là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Vậy $\max S_{APHQ}=\dfrac{R^2}{2}\Leftrightarrow \begin{cases}AP= AQ\\ H \equiv O \end{cases}\Leftrightarrow A$  là điểm chính giữa cung $BC$.

Bài 2b. Theo định lý về cạnh góc vuông và đường cao trong tam giác vuông ta có
$\triangle ABH :\quad BH^2=BP.BA$
$\triangle ACH :\quad CH^2=CQ.CA$
 $\triangle ABC :\quad AH^2=BH.CH$
  $\triangle ABC :\quad AH.BC=AB.AC$
Suy ra
$AH^4=(BH.CH)^2=BH^2.CH^2=BP.BA.CQ.CA=BP.CQ.(BA.CA)=BP.CQ.AH.BC$
Suy ra
$AH^3=BP.CQ.BC$
Từ đây kết hợp với câu a ta có đpcm.

Bài 2a.
Theo tính chất của đường vuông góc ta suy ra $\widehat{APH}=\widehat{AQH}=90^\circ.$
Mặt khác thì $A$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$ nên $\widehat{BAC}=90^\circ.$
 Như vậy tứ giác $APHQ$ là hình chữ nhật vì có ba góc vuông. Khi đó hai đường chéo của nó bằng nhau, nghĩa là $AH=PQ,$ đpcm.

Bài 1.
Em xem ở đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/104939/bai-104939

Dãy số này bị chặn. Tức là bị chặn trên và bị chặn dưới.
Thật vậy,
$|u_{n}|=\left| {(-1)^{n}\dfrac{2n}{n+1}\cos(n+1)} \right|=\left| {(-1)^{n}} \right|.\left| {\dfrac{2n}{n+1}} \right|.\left| {\cos(n+1)} \right|$
 $|u_{n}|=1.\dfrac{2n}{n+1}.\left| {\cos(n+1)} \right|$
 Do $0 \le \left| {\cos(n+1)} \right| \le 1$ suy ra
$|u_n| \le \dfrac{2n}{n+1}=2-\dfrac{2}{n+1}<2$
$\Rightarrow -2 < u_n <2.$
Vậy dãy số bị chặn trên bởi $2$ và bị chặn dưới  bởi $-2$.

2. PT
$\Leftrightarrow \left[\sqrt 3\sin x+\cos x+\sin x\right]\left[\cos x-\sin x\right]=1$
$\Leftrightarrow \left[(\sqrt 3+1)\sin x+\cos x\right]\left[\cos x-\sin x\right]=\sin^2 x +\cos^2 x$
 $\Leftrightarrow -(\sqrt 3+1)\sin^2 x +\sqrt 3\sin x \cos x +\cos^2 x=\sin^2 x +\cos^2 x$
  $\Leftrightarrow (\sqrt 3+2)\sin^2 x +\sqrt 3\sin x \cos x =0$

 + Nếu $\cos x =0\Rightarrow \sin x =0$. Điều này vô lý vì $\sin^2 x +\cos^2 x =1$.
+Xét $\cos x \ne 0$. Chia hai vế của PT trên cho $\cos^2 x$ ta được
$\Leftrightarrow (\sqrt 3+2)\left ( \dfrac{\sin x}{\cos x}\right )^2 +\sqrt 3\left ( \dfrac{\sin x}{\cos x}\right ) =0$
$\Leftrightarrow (\sqrt 3+2)\tan^2 x +\sqrt 3\tan x =0$
$\Leftrightarrow\left[ {\begin{matrix} \tan x = 0\\  \tan x = -\dfrac{\sqrt 3}{\sqrt 3+2} \end{matrix}} \right.$
$\tan x =0$ vô nghiệm suy ra $\sin x =0\Rightarrow\cos x =0 $.
 $  \tan x = -\dfrac{\sqrt 3}{\sqrt 3+2} \Leftrightarrow x= \arctan\left ( -\dfrac{\sqrt 3}{\sqrt 3+2} \right )+k\pi, k \in \mathbb Z.$