1) PT
$\Leftrightarrow 6\sin^2 x -\sin x \cos x -\cos^2 x+\sin 2x.\sqrt 3+\cos 2x+2\cos^2x=0$
$\Leftrightarrow 6\sin^2 x -\sin x \cos x -\cos^2 x+2\sqrt 3\sin x \cos x+\cos^2x-\sin^2 x +2\cos^2x=0$
 $\Leftrightarrow 5\sin^2 x +(2\sqrt 3-1)\sin x \cos x +2\cos^2 x=0$

+ Nếu $\cos x =0\Rightarrow \sin x =0$. Điều này vô lý vì $\sin^2 x +\cos^2 x =1$.
+Xét $\cos x \ne 0$. Chia hai vế của PT trên cho $\cos^2 x$ ta được
$\Leftrightarrow 5\left ( \dfrac{\sin x}{\cos x}\right )^2 +(2\sqrt 3-1)\left ( \dfrac{\sin x}{\cos x}\right ) +2=0$
 $\Leftrightarrow 5\tan^2 x +(2\sqrt 3-1)\tan x +2=0$
  PT này vô nghiệm.
Vậy PT đã cho vô nghiệm.

+ Nếu một trong năm số $a,b,c,d,e$ bằng $1$ thì suy ra $a=b=c=d=e=1.$
+ Không mất tính tổng quát giả sử $a >1$. Từ $a^b=b^c \Rightarrow b>1.$
Tương tự như vậy $c,d,e >1$. Như vậy tất cả các hàm mũ mà $a,b,c,d,e$ là cơ số thì đều là hàm tăng.
Không mất tính tổng quát giả sử $a \le b.$
Từ $a^b=b^c \Rightarrow \dfrac{a^b}{b^b}=\dfrac{b^c}{b^b}\Rightarrow \left ( \dfrac{a}{b} \right )^b=b^{c-b}$
Do $\dfrac{a}{b} \le 1 \Rightarrow b^{c-b} \le 1=b^0\Rightarrow c -b\le 0 \Rightarrow c  \le b.$
Tương tự như vậy với các đẳng thức còn lại
$\begin{cases}c  \le b \\ b^c=c^d  \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\dfrac{b}{c} \ge 1 \\  \left ( \dfrac{b}{c} \right )^c=c^{d-c}  \end{cases}\Rightarrow c \le d$
$\begin{cases}c  \le d \\ c^d=d^e  \end{cases}\Rightarrow \ldots \Rightarrow e \le d$
$\begin{cases}e  \le d \\ d^e=e^a  \end{cases}\Rightarrow \ldots \Rightarrow e \le a$
$\begin{cases}e  \le a \\ e^a=a^b  \end{cases}\Rightarrow \ldots \Rightarrow b \le a$
kết hợp $a \le b$ và $b \le a$ ta có $a=b$. Tiếp tục như vậy $b=c,c=d,d=e.$
Vậy phải có $a=b=c=d=e$.

Ta thấy điều sau
$u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{2}(u_{n}+1)-u_n$
 $u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{2}(1-u_{n})$
 Như vậy ta thấy rằng $u_{n+1}-u_n$ và $1-u_n$ là hai số cùng dấu với nhau.
Ta sẽ chứng minh  $u_n >1 \quad \forall n$ .
Thật vậy, ta chứng minh điều này bằng quy nạp.
Hiển nhiên $u_1 >1.$
Giả sử rằng $u_k >1\quad \forall k \ge 2.$
Lúc này
$u_{k+1}=\dfrac{1}{2}(u_{k}+1)>\dfrac{1}{2}(1+1)=1$
Như vậy theo nguyên lý quy nạp ta có $u_n >1 \quad \forall n$ .
 Và từ $u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{2}(1-u_{n})\Rightarrow u_{n+1}<u_n \quad \forall n$.
 Vậy ta có đpcm.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết