Ta thấy điều sau
$u_{n+1}-u_n=\frac{n}{2(n+1)}u_{n}+\frac{3(n+2)}{2(n+1)}-u_n$
$u_{n+1}-u_n=u_{n}\left ( \frac{n}{2(n+1)}-1\right )+\frac{3(n+2)}{2(n+1)}$
 $u_{n+1}-u_n=u_{n}\frac{-n-2}{2(n+1)}+\frac{3(n+2)}{2(n+1)}$
 $u_{n+1}-u_n=\frac{(n+2)}{2(n+1)}(3-u_n)$
 Như vậy ta thấy rằng $u_{n+1}-u_n$ và $3-u_n$ là hai số cùng dấu với nhau. Như vậy để dãy số đã cho là dãy số tăng và bị chặn bởi $3$ là hai điều tương đương nhau.
Nó có nghĩa là nếu ta chứng minh được $u_n <3 \quad \forall n$ thì suy ra đpcm.
Thật vậy, ta chứng minh điều này bằng quy nạp.
Hiển nhiên $u_1 < 3.$
Giả sử rằng $u_k <3\quad \forall k \ge 2.$
Lúc này
$u_{k+1}=\frac{k}{2(k+1)}u_{k}+\frac{3(k+2)}{2(k+1)}<\frac{k}{2(k+1)}3+\frac{3(k+2)}{2(k+1)}=\frac{3(2k+2)}{2(k+1)}=3$
Vậy ta có đpcm.

2a. PT
$\Leftrightarrow \dfrac{3\left(\cos2x+\cot2x\right)}{\cot2x-\cos2x}=2\sin2x+2$
$\Leftrightarrow 3\left(\cos2x+\cot2x\right)=(2\sin2x+2)(\cos2x+\cot2x)$
 $\Leftrightarrow 3\cos2x+3\cot2x=2\sin2x\cos2x+2\cos2x+2\cot2x+2\sin2x\cot2x$
 $\Leftrightarrow \cos2x+\cot2x-2\sin2x\cos2x-2\sin2x\cot2x=0$
 $\Leftrightarrow (\cos2x+\cot2x)(1-2\sin2x)=0$
 $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \cos2x+\cot2x=0\\1-2\sin2x=0  \end{matrix}} \right.$
 Ta chỉ cần quan tâm đến PT $ \cos2x+\cot2x=0$ vì PT $1-2\sin2x=0$ giải đơn giản.
Mặt khác thay $ \cos2x+\cot2x=0$ vào PT ban đầu ta suy ra $2\sin2x+2=0.$

2b. PT
$\Leftrightarrow 4\cos^2x-4\sqrt{3}\cos x+3+3\tan^2x+2\sqrt{3}\tan x+1=0$
$\Leftrightarrow (2\cos x -\sqrt{3})^2+(\sqrt{3}\tan x+1)^2=0$
 $\Leftrightarrow \begin{cases}2\cos x -\sqrt{3}=0 \\ \sqrt{3}\tan x+1=0 \end{cases}$
 $\Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi}{6}+k2\pi, \quad k \in \mathbb Z.$

2c . Điều kiện $\sin 2x \ne 0.$
PT
$\Leftrightarrow \dfrac{(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x}{\sin 2x}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x}{\sin 2x}= \dfrac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin 2x}$
 $\Leftrightarrow 1-2\sin^2x\cos^2x=1$
 $\Leftrightarrow \sin^2x\cos^2x=0$
 Điều này mâu thuẫn với điều kiện. Vậy PT đã cho vô nghiệm.

1. PT
$\Leftrightarrow 2\sin x\cos4x-2\sin^22x=8\sin^2\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)-7$
$\Leftrightarrow 2\sin x\cos4x-(1-\cos 4x)=4\left ( 1-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) \right )-7$
 $\Leftrightarrow 2\sin x\cos4x-1+\cos 4x=4- 4\sin x-7$
  $\Leftrightarrow 2\sin x\cos4x+4\sin x+\cos 4x+2=0$
   $\Leftrightarrow (\cos4x+2)(2\sin x+1)=0$
 Do $\cos 4x +2 \ge 1 >0$ nên $2\sin x+1=0\Leftrightarrow \sin x =-\dfrac{1}{2}$.
Kết hợp với $|x-1| < 3 \Leftrightarrow -2 <x <4$ ta có
$x =-\dfrac{\pi}{6}$ hoặc $x =\dfrac{7\pi}{6}$.

Ta có
$D=\left| {\begin{matrix} 1 & 2 &4 & -3 \\ 3 & 5 & 6 &-6 \\4 & 5 & -2 &3  \\1 & 1 & -2 & m\end{matrix}} \right|=0$.
Vì thế ta không dùng công thức Vandelmo ở đây. Ta sẽ dùng phương pháp biến đổi theo hàng.
$\left ( \begin{matrix} 1 & 2 &4 & -3 \\ 3 & 5 & 6 &-6 \\4 & 5 & -2 &3  \\1 & 1 & -2 & m\end{matrix} \right ) \to \left ( \begin{matrix} 1 & 2 &4 & -3 \\ 0 & -1 & -6 &3 \\0 & -3 & -18 &15  \\0 & -1 & -6 & m+3\end{matrix} \right )\to \ldots \to\left ( \begin{matrix} 1 & 0 &-8 & 0 \\ 0 & 1 & 6 &0 \\0 & 0 & 0 &1  \\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix} \right )$
Từ đây suy ra $x_4=0, x_1=8x_3, x_2=-6x_3, x_3 \in \mathbb R.$
Chú ý rằng trong phép biến đổi trên, có đoạn cần xét $m =\dfrac{12}{5}$. Nhưng vẫn cho ta kết quả như trên.