Ta thấy rằng
$6^2+8^2=10^2\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2\Rightarrow \triangle ABC$ vuông tại $A$.
Suy ra đường tròn tâm $O$ ngoại tiếp $ \triangle ABC$ chính là trung điểm $BC\Rightarrow R=OM=\dfrac{1}{2}BC=5$.
Theo tính chất đường kính $OM$ vuông góc với dây cung $AC$ suy ra $I$ là trung điểm $AC$.
 Do vậy theo tính chất đường trung bình thì $IO=\dfrac{1}{2}BA=3$.
 Vậy $IM=OM-OI=5-3=2.$

Dễ thấy tứ giác $ABOC$ là hình chữ nhật vì có ba góc $A,B,C$ vuông nên góc $\widehat{BOC}=90^\circ$.
Theo tính chất của tiếp tuyến thì có $OD,OE$ lần lượt là các phân giác trong của các góc $\widehat{BOM},\widehat{COM}$
Suy ra
$\begin{cases}\widehat{DOM}=\dfrac{1}{2}\widehat{BOM} \\ \widehat{MOE}=\dfrac{1}{2}\widehat{COM} \end{cases}\Rightarrow \widehat{DOE}=\widehat{DOM}+\widehat{MOE}=\dfrac{1}{2}\left ( \widehat{BOM}+ \widehat{COM}\right )=\dfrac{1}{2}\widehat{BOC}=45^\circ$

Dễ thấy tứ giác $ABOC$ là hình chữ nhật vì có ba góc $A,B,C$ vuông, mà lại có $OB=OC=2cm$ nên $ABOC$ là hình vuông cạnh $2cm$.
Theo tính chất của tiếp tuyến thì có $DB=DM, EM=EC$.
Suy ra
$P_{ADE}=AD+DM+ME+EA=AD+DB+EC+EA=AB+AC=4cm$

HPT
$\Leftrightarrow \begin{cases}(x^3-3x^2+3x-1)-12(x-1)=(y^3+3y^2+3y+1)-12(y+1) \\ y-2=\sqrt{x-3} \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}(x-1)^3-12(x-1)=(y+1)^3-12(y+1) \qquad (1)\\ y-2=\sqrt{x-3}\qquad (2)\\x\ge 3, y \ge 2 \end{cases}$
Đặt $f(t)=t^3-12t \quad t \ge 2$.
Có $f'(t)=3t^2-12 \ge 0 \quad \forall t \ge 2$ suy ra $f$ là hàm đồng biến với $t \ge 2.$
Từ PT $(1)\Leftrightarrow f(x-1)=f(y+1)\Leftrightarrow x-1=y+1\Leftrightarrow x-4=y-2$
 Thay điều này vào $(2)$ ta được
$x-4=\sqrt{x-3}\Leftrightarrow \begin{cases}x \ge 4 \\ (x-4)^2=x-3 \end{cases}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\left (9+\sqrt 5 \right )$
Vậy
$x=\dfrac{1}{2}\left (9+\sqrt 5 \right ), y =\dfrac{1}{2}\left (5+\sqrt 5 \right )$.

Đặt $t=x -\pi$ thì khi $x \to\pi$ ta có $t \to 0$
$L=\mathop {\lim }\limits_{x \to\pi }\dfrac{\sin 3x}{\sin 5x}=\mathop {\lim }\limits_{t \to 0 }\dfrac{\sin 3(t+\pi)}{\sin 5(t+\pi)}=\mathop {\lim }\limits_{t \to 0 }\dfrac{\sin (3t+3\pi)}{\sin (5t+5\pi)}=\mathop {\lim }\limits_{t \to 0 }\dfrac{-\sin 3t}{-\sin 5t}=\mathop {\lim }\limits_{t \to 0 }\dfrac{\sin 3t}{\sin 5t}$
$L=\mathop {\lim }\limits_{t \to 0 }\left ( \dfrac{\sin 3t}{3t}.\dfrac{5t}{\sin 5t}.\dfrac{3}{5} \right )=1.1.\dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{5}$