b) Ta có
$D=\left| {\begin{matrix} 1 & 2 &2 \\ -2 & m-2 & m-5 \\ m & 1 & m+1 \end{matrix}} \right|=(m-1)(m-3)$.
$D_{x_1}=\left| {\begin{matrix}  0 & 2 &2 \\ 2 & m-2 & m-5 \\ -2 & 1 & m+1\end{matrix}} \right|=-4(m-3)$
 $D_{x_2}=\left| {\begin{matrix} 1 & 0 &2 \\ -2 & 2 & m-5 \\ m & -2 & m+1\end{matrix}} \right|=0$
 $D_{x_3}=\left| {\begin{matrix} 1 & 2 &0 \\ -2 & m-2 & 2 \\ m & 1 & -2\end{matrix}} \right|=2(m-3)$
+ Với $m=3$ thì HPT có vô số nghiệm $(x_1,x_2,x_3)=(3s-2,s,-\dfrac{15s-6}{6}) \quad t,s \in \mathbb R.$
+ Với $m=1$ thì HPT  vô nghiệm.
+ Với $m\ne1, m \ne 3 $ thì HPT có  nghiệm
 $x_1=\dfrac{D_{x_1}}{D}=-\dfrac{4}{m-1}$
 $x_2=\dfrac{D_{x_2}}{D}=0$
 $x_3=\dfrac{D_{x_3}}{D}=\dfrac{2}{m-1}$

a) Ta có
$D=\left| {\begin{matrix} m+1 & 1 &1 \\ 1 & m+1 & 1 \\ 1 & 1 & m+1 \end{matrix}} \right|=m^2(m+3)$.
$D_{x_1}=\left| {\begin{matrix}  1 & 1 &1 \\ 1 & m+1 & 1 \\ 1 & 1 & m+1\end{matrix}} \right|=m^2$
 $D_{x_2}=\left| {\begin{matrix} m+1 & 1 &1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & m+1\end{matrix}} \right|=m^2$
 $D_{x_3}=\left| {\begin{matrix} m+1 & 1 &1 \\ 1 & m+1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{matrix}} \right|=m^2$
+ Với $m=0$ thì HPT có vô số nghiệm $(x_1,x_2,x_3)=(t,s,-t-s+1) \quad t,s \in \mathbb R.$
+ Với $m=-3$ thì HPT có vô nghiệm.
+ Với $m\ne0, m \ne -3 $ thì HPT có  nghiệm
 $x_1=\dfrac{D_{x_1}}{D}=\dfrac{1}{m+3}$
 $x_2=\dfrac{D_{x_2}}{D}=\dfrac{1}{m+3}$
 $x_3=\dfrac{D_{x_3}}{D}=\dfrac{1}{m+3}$

d) Ta sẽ chứng minh  $\quad 0 \le u_n < 1 \quad \forall n \ge 1.$
Thật vậy
$0 \le u_n\Leftrightarrow 0 \le\dfrac{n-1}{\sqrt{n^{2}+2}} \Leftrightarrow 0 \le n-1\Leftrightarrow 1 \le n$, luôn đúng.
$u_n<1\Leftrightarrow\frac{n-1}{\sqrt{n^{2}+2}}<1\Leftrightarrow n-1 \le \sqrt{n^{2}+2}\Leftrightarrow n^2-2n+1 < n^2+2\Leftrightarrow  0<2n+1 $, luôn đúng.

c) Với mọi số tự nhiên $k$ thì ta biết  $\quad\dfrac{2}{k(k+2)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+2}$
Do đó
$2u_n=\frac{2}{1.3}+\frac{2}{2.4}+...+\frac{2}{n(n+2)}=\left ( \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3} \right )+\left ( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4} \right )+\ldots+\left ( \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2} \right )$
$2u_n=\left (1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{n} \right )-\left (\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{n+2} \right )$
$2u_n=\left (1+\dfrac{1}{2} \right )-\left (\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2} \right )$
 $2u_n=\dfrac{n (5+3 n)}{2 (1+n) (2+n)}$
 $u_n=\dfrac{n (5+3 n)}{4 (1+n) (2+n)}$
 Ta sẽ chứng minh $\dfrac{1}{4} <u_n < \dfrac{3}{4}$.
Thật vậy
$\dfrac{n (5+3 n)}{4 (1+n) (2+n)}< \dfrac{3}{4}\Leftrightarrow n (5+3 n) <3(1+n) (2+n)$
$\Leftrightarrow 3n^2+5n < 3n^2+9n+6\Leftrightarrow 0 < 4n+6$, luôn đúng.
 $\dfrac{n (5+3 n)}{4 (1+n) (2+n)}>\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow n (5+3 n) >(1+n) (2+n)$
$\Leftrightarrow 3n^2+5n > n^2+3n+2\Leftrightarrow  2n^2+2n > 2$, luôn đúng.

b) Ta sẽ chứng minh  $\quad \dfrac{1}{3}< u_n \le 6 \quad \forall n \ge 1.$
Thật vậy
$\dfrac{1}{3}< u_n\Leftrightarrow \dfrac{1}{3} <\dfrac{n^{2}+5}{3n^{2}-2} \Leftrightarrow 3n^2-2 <3n^2+15\Leftrightarrow -2 <15$, luôn đúng.
$u_n\le 6\Leftrightarrow \dfrac{n^{2}+5}{3n^{2}-2} \le 6\Leftrightarrow n^{2}+5 \le 18n^{2}-12\Leftrightarrow 17 \le 17n^2\Leftrightarrow  1 \le n^2$, luôn đúng.

a) Ta sẽ chứng minh  $\quad -\dfrac{1}{4} \le u_n < \dfrac{2}{3} \quad \forall n \ge 1.$
Thật vậy
$-\dfrac{1}{4} \le u_n\Leftrightarrow -\dfrac{1}{4} \le \dfrac{2n-3}{3n+1}\Leftrightarrow -(3n+1) \le 4(2n-3)\Leftrightarrow -3n-1 \le 8n-12\Leftrightarrow 11 \le 11n \Leftrightarrow 1 \le n$, luôn đúng.
$u_n< \dfrac{2}{3}\Leftrightarrow  \dfrac{2n-3}{3n+1}< \dfrac{2}{3}\Leftrightarrow 3(2n-3) < 2(3n+1)\Leftrightarrow 6n-9 < 6n+2\Leftrightarrow  -9 < 2$, luôn đúng.