b) Ta có  $U_{n+1}=(n+1)+\cos^2(n+1)$.
Suy ra
$U_{n+1}-U_n = (n+1)+\cos^2(n+1)-(n+\cos^2n)=1+\cos^2(n+1)-\cos^2n$
Do $\cos^2n \le 1 \Rightarrow 1-\cos^2n \ge 0\Rightarrow 1+\cos^2(n+1)-\cos^2n\ge 0\Rightarrow U_{n+1}-U_n\Rightarrow U_{n+1}\ge U_n$
Mặt khác do $\cos n \ne \pm 1$, do $n \in \mathbb N$ nên suy ra $U_{n+1}> U_n$.
Vậy dãy số đã cho là dãy tăng.

Gọi $d$ là ước số chung lớn nhất của $a$ và $ab+4$, ta kí hiệu $d=$ƯCLN$(a,ab+4).$
Suy ra
$\begin{cases}a  \vdots  d \\ ab+4  \vdots  d \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}ab  \vdots  d \\ ab+4  \vdots  d \end{cases}\Rightarrow 4  \vdots  d$
Mặt khác thì $a$ là số lẻ nên $d$ cũng lẻ. Do vậy chỉ có thể $d=\pm1$.
Từ đó suy ra đpcm.

PT đã cho $\Leftrightarrow x^2-1=2y^2\Leftrightarrow (x-1)(x+1)=2y^2            (*)$
Vế phải  $   (*)$ là số chẵn nên suy ra $(x-1)(x+1)$ cũng là số chẵn. Mặt khác hiệu $(x+1)-(x-1)=2$ nên $(x-1),(x+1)$ đều là số chẵn.
Giả sử $x-1=2m, x+1=2n \quad m,n \in \mathbb N.$
Thay trở lại vào $   (*)$ ta được $4mn=2y^2\Leftrightarrow 2mn=y^2$
từ đây suy ra $y$ phải là số chẵn, mà $y$ là số nguyên tố nên $y=2.$
Thay trở lại vào PT ban đầu ta được $ x^2-1=8\Leftrightarrow x=3.$
Vậy $x=3,y=2.$

PT
$\Leftrightarrow 2\sin^2(x-\dfrac{\pi}{4})= 2\sin^2x - \tan x$
$\Leftrightarrow 1-\cos(2x-\dfrac{\pi}{2})= 1-\cos2x - \tan x$
 $\Leftrightarrow -\sin 2x= -\cos2x - \tan x$
$\Leftrightarrow -\sin 2x+\cos2x + \tan x=0$
Đặt $t=\tan x$ thì $\sin 2x =\dfrac{2t}{1+t^2},\cos 2x =\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$
 PT
 $\Leftrightarrow -\dfrac{2t}{1+t^2}+\dfrac{1-t^2}{1+t^2}+t=0$
$\Leftrightarrow (t-1)^2(t+1)=0$
 $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} t=1\\ t=-1 \end{matrix}} \right.$
 $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\ x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi \end{matrix}} \right. ( k\in \mathbb Z)$