b) Do $IG \parallel (ABCD)$ nên giao tuyến của $(IEG)$ và $(ABCD)$ là đường thẳng qua $E$ song song với $IG $. Từ câu a) suy ra nó cũng phải song song với $MN$. Nên nó chính là đường $EF$, với $F$ là trung điểm $BC$.
Gọi $EF$ lần lượt cắt $AD,AB$ tại $X,Y$ trong mp $(ABCD)$.
Gọi $GX$ cắt $SA,SD$ tại $H,K$ trong mp $(SAD)$.
Ta sẽ chứng minh $H, I , Y$ thẳng hàng trong mp $(SAB)$.
 Để chứng minh điều này ta cần biết định lý Menelauyt cho $\triangle SAN$ với cát tuyến $X,G,H$ để tính được $\dfrac{HS}{HA}=4$
và dùng kết quả trên và định lý đảo Menelauyt cho $\triangle SAM$ để có được $H, I , Y$ thẳng hàng.
 Bây giờ gọi $HY$ cắt $SB$ tại $P$ thì $HKEFP$ là thiết diện cần tìm.

a) Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AD.$
Theo tính chất trọng tâm ta có
$\dfrac{SG}{SN}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{SI}{SM}\Rightarrow IG \parallel MN \Rightarrow IG \parallel (ABCD)$

Từ PT thứ hai $\Rightarrow 4x^{2}-22x+21=4y+3$, thay và PT thứ nhất ta được
$y^3+3y^2+5y+3=(2x+1)\sqrt{2x-1}\Leftrightarrow (y+1)(y^2+2y+3)=(2x+1)\sqrt{2x-1}$
Đặt $f(t)=t(t^2+2)$ thì PT trên $\Leftrightarrow f(y+1)=f(\sqrt{2x-1})$
Ta có $f'(t)=3t^2+2>0 \quad \forall t$ nên $f$ là hàm đồng biến, suy ra
$y+1=\sqrt{2x-1}\Rightarrow 2x^{2}-11x+11=2y +2=2\sqrt{2x-1}\Rightarrow 2x^{2}-11x+11=2\sqrt{2x-1} $
$\Rightarrow (2x^{2}-11x+11)^2=4(2x-1)\Rightarrow (x-1)(x-5)(2x-5)^2=0$
Từ đấy thu được
$(x,y) \in \left\{ {(1,0), (5,2),(5/2,1)} \right\}$
Thử lại chỉ có
$(x,y) \in \left\{ {(1,0), (5,2)} \right\}$

Pt thứ nhất $\Leftrightarrow (4x^{2}+1)x=(3-y)\sqrt{5-2y}\Leftrightarrow (4x^{2}+1)2x=(6-2y)\sqrt{5-2y}$
Xét hàm $f(t)=t(t^2+1)$ thì PT trên $\Leftrightarrow f(2x)=f(\sqrt{5-2y})$
Ta có $f'(t)=3t^2+1>0 \quad \forall t$ nên $f$ là hàm đồng biến, do vậy
$2x=\sqrt{5-2y}\Leftrightarrow  \begin{cases}5-2y=4x^2 \\ 0 \le x \le 3/4 \end{cases}$
Từ PT thứ hai $\Leftrightarrow 2\sqrt{3-4x}=-y\Leftrightarrow \begin{cases}4(3-4x)=y^2 \\ y \le 0 \end{cases}$
Tóm lại ta có
$ \begin{cases}5-2y=4x^2 \\ 4(3-4x)=y^2 \\ 0 \le x \le 3/4 \\y \le 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}y=\dfrac{5-4x^2}{2} \\ 4(3-4x)=\left ( \dfrac{5-4x^2}{2} \right )^2 \\ 0 \le x \le 3/4 \\y \le 0 \end{cases}\Rightarrow (2x-1)(8x^3+4x^2-18x+23)=0$
Ta có PT bậc ba $8x^3+4x^2-18x+23=0$ có duy nhất một nghiệm âm (phần này bạn tự chứng minh coi như bài tập nhé)
Do đó $2x-1=0\Leftrightarrow x=1/2\Rightarrow y=\dfrac{5-4x^2}{2}=2>0,$ vô lý.
Vậy PT đã cho vô nghiệm.

$\textbf{Cách 2}$
$\sqrt[]{x-\sqrt{x^2-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}=2$
ĐK: $\begin{cases}x^2-1 \ge0 \\ x\ge \pm\sqrt{x^2-1} \end{cases}\Rightarrow x\geq 1$.
Đặt $x-\sqrt{x^2-1}=a,x+\sqrt{x^2-1}=b$ thì $0\leq a\leq b$.
Ta có hệ
$\begin{cases}a+b=2 \\ ab=1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}b=2-a \\ a(2-a)=1 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}b=2-a \\ (a-1)^2=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}b=1 \\ a=1 \end{cases}$
Vậy phương trình đã cho tương đương với $a=b=1$ hay $x=1.$

$\textbf{Cách 1}$
$\sqrt[]{x-\sqrt{x^2-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}=2$
ĐK: $\begin{cases}x^2-1 \ge0 \\ x\ge \pm\sqrt{x^2-1} \end{cases}\Rightarrow x\geq 1$.
Đặt $x-\sqrt{x^2-1}=a,x+\sqrt{x^2-1}=b$ thì $0\leq a\leq b$.
Mà $ab=1$ nên $a\leq 1\leq b$.
Khi đó: $2=\sqrt[]{a}+\sqrt{b}\geq2\sqrt[4]{ab}=2$.
Do đó phương trình đã cho tương đương với $a=b=1$ hay $x=1.$