d) Hiển nhiên có $AB \parallel CN$ nên để $ABCN$ là hình thang cân thì ta cần hai góc kề đáy bằng nhau $\widehat{BAN}=\widehat{ABC}$.
Mặc khác ta có
$\begin{cases}\widehat{BAN}=\widehat{DAN} ( \text{do tứ giác ADNM là hình thoi nên AN là phân giác góc}  \widehat{BAD})\\ \widehat{ABC}+\widehat{BAD}= 180^\circ  (AD \parallel BC)\end{cases}$
Từ ba điều này suy ra
$\widehat{ABC}=\widehat{BAN}=\widehat{DAN}=\dfrac{180^\circ}{3}=60^\circ$
Vậy để $ABCN$ là hình thang cân thì cần điều kiện $\widehat{ABC}=60^\circ$.

c)
Theo tính chất đối xứng thì $DQ=DN, DA=DC.$ Tứ giác $ANKQ$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên trước hết nó là hình bình hành.
Mặt khác do $AD=DN $ (câu b) nên suy ra $QN=2DN=2DA=AK$ suy ra hình bình hành $ANKQ$ có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật.

b)
Xét tứ giác $AMND$ có $AM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}CD=DN$ và hiển nhiên có $AM \parallel DN$
 suy ra tứ giác $AMND$ là hình bình hành vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
Mặt khác thì $AB=2AD\Rightarrow AD=AM.$
Suy ra hình bình hành $AMND$ có hai cạnh kề bằng nhau nên nó là hình thoi.

a)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB=CD$ và $AB \parallel CD$
Xét tứ giác $AMCN$ có $AM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}CD=CN$ và hiển nhiên có $AM \parallel CN$
 suy ra từ giác $AMCN$ là hình bình hành vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

PT
$\Leftrightarrow \cos x(2 \sin^2x+2 \sin x+1)-2\cos^3x-\sin x-1=0$
$\Leftrightarrow \cos x(2-2 \cos^2x+2 \sin x+1)-2\cos^3x-\sin x-1=0$
 $\Leftrightarrow 2\cos x-2 \cos^3x+2 \sin x\cos x+\cos x-2\cos^3x-\sin x-1=0$
 $\Leftrightarrow (2\cos x-1)+\sin x(2\cos x -1)+\cos x(1-4\cos^2 x)=0$
  $\Leftrightarrow (2\cos x-1)(1+\sin x-\cos x(1+2\cos x))=0$
   $\Leftrightarrow (2\cos x-1)(\sin x-\cos x+1-2\cos^2 x)=0$
 $\Leftrightarrow (2\cos x-1)(\sin x-\cos x+\sin^2 x-\cos^2 x)=0$
 $\Leftrightarrow (2\cos x-1)(\sin x-\cos x)(1+\sin x+\cos x)=0$
 $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} 2\cos x-1=0\\\sin x-\cos x=0 \\\sin x+\cos x=-1 \end{matrix}} \right.$
 Đến đây không khó bạn tự viết nốt nghiệm nhé.