Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

b)
BPT $\Leftrightarrow \dfrac{3^{x}-4^{x}}{3^{x+1}-4^{x+1}}-\dfrac{1}{7} < 0\Leftrightarrow \dfrac{4.3^{x}-3.4^{x}}{7(3^{x+1}-4^{x+1})}<0$
Xét hai trường hợp
+ $\begin{cases}4.3^{x}-3.4^{x}>0 \\ 3^{x+1}-4^{x+1}<0 \end{cases}$
do $ \dfrac{4}{3} >1$ nên
$3^{x+1}<4^{x+1}\Leftrightarrow  \left (  \dfrac{4}{3} \right )^{0} < \left (  \dfrac{4}{3} \right )^{x+1}\Leftrightarrow 0<x+1 \Leftrightarrow -1<x$
$ 4.3^{x}-3.4^{x}>0\Leftrightarrow 4.3^{x}>3.4^{x}\Leftrightarrow \dfrac{4}{3} > \left (  \dfrac{4}{3} \right )^x\Leftrightarrow 1>x$.
+ $\begin{cases}4.3^{x}-3.4^{x}<0 \\ 3^{x+1}-4^{x+1}>0 \end{cases}$
do $ \dfrac{4}{3} >1$ nên
$3^{x+1}>4^{x+1}\Leftrightarrow  \left (  \dfrac{4}{3} \right )^{0} > \left (  \dfrac{4}{3} \right )^{x+1}\Leftrightarrow 0>x+1 \Leftrightarrow -1>x$
$ 4.3^{x}-3.4^{x}<0\Leftrightarrow 4.3^{x}<3.4^{x}\Leftrightarrow \dfrac{4}{3} < \left (  \dfrac{4}{3} \right )^x\Leftrightarrow 1<x$.
Trường hợp này không thể xảy ra.

Vậy $-1<x<1.$

e) $x^{2}-4x-6=\sqrt{2x^{2}-8x+12}$
Đặt $t=x^{2}-4x-6$ thì PT  $\Leftrightarrow t=\sqrt{2t+24}$. Điều kiện $t \ge 0$ ta có
$t^2=2t+24\Leftrightarrow (t-6)(t+4)=0\Leftrightarrow t=6$, thay trở lại ta có
$x^{2}-4x-6=6\Leftrightarrow (x-6)(x+2)=0\Leftrightarrow x=6$ hoặc $x=-2.$

f) Áp dụng BĐT Bunhia ta có
$\left (1. \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}.1 \right )^2 \le (1+1-x)(1+1+x)=(2-x)(2+x)=4-x^2$
$\Rightarrow \left (2-\frac{x^{2}}{4} \right )^2 =\left ( \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right )^2 \le 4-x^2$
$\Rightarrow 4-x^2+\frac{x^{4}}{16} \le 4-x^2$
 $\Rightarrow \frac{x^{4}}{16} \le 0\Rightarrow x=0.$
 thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=0.$

b) PT
$2012x^3=-3x^2+3x-1\Leftrightarrow 2013x^3=x^3-3x^2+3x-1\Leftrightarrow 2013x^3=(x-1)^3$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{2013}x=x-1\Leftrightarrow x\left ( -1+ \sqrt[3]{2013} \right )=-1\Leftrightarrow x=\dfrac{-1}{ -1+ \sqrt[3]{2013}}$

Do $x_1, x_2 $ là nghiệm nên ta có
$\begin{cases}x_1^{2}-5mx_1-4m=0\\ x_2^{2}-5mx_2-4m=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x^{2}_{1}+5mx_{2}+12m=5m(x_1+x_2)+16m\\x^{2}_{2}+5mx_{1}+12m=5m(x_1+x_2)+16m \end{cases}$
Như vậy
$P=\dfrac{m^{2}}{5m(x_1+x_2)+16m}+\dfrac{5m(x_1+x_2)+16m}{m^{2}}$
Theo Talet thì $x_1+x_2=5m$ nên
$P=\dfrac{m}{25m+16}+\dfrac{25m+16}{m}=\dfrac{m}{25m+16}+\dfrac{25m+16}{m}-2+2=\dfrac{(25m+16-m)^2}{25m^2+16m}+2$
 Mặt khác do điều kiện có hai nghiệm phân biệt nên $\Delta >0\Leftrightarrow 25m^2+16m>0$ suy ra
$P=\dfrac{(24m+16)^2}{25m^2+16m}+2 \ge 2$.
Vậy $\min P =2\Leftrightarrow 24m+16=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{2}{3}$

Đặt $t = \tan\dfrac{x}{2}$ thì
$\sin x = \dfrac{2t}{1+t^2}, \cos x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}\Rightarrow \sin 4x =4\sin x \cos x \cos 2x=4\sin x \cos x(2\cos^2x-1)$
Thay vào và rút gọn ta được PT
$2t^8+4t^7+5t^6-28t^5+3t^4+28t^3-t^2-4t-1=0$
PT trình này không có nghiệm đẹp. Chỉ có hai nghiệm tính được xấp xỉ
$t_1 \approx -0,862019, t_2 \approx 0,529675$