Đặt
$t= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\Rightarrow \begin{cases}dt= -\frac{x}{\sqrt{(x^2-1)^3}} \\ \dfrac{1}{t^2+1}=\dfrac{x^2-1}{x^2} \end{cases}$
Suy ra
$\int\limits\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}=-\int\limits\dfrac{1}{t^2+1}dt=-\arctan t=-\arctan \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
 Nếu bài toán chỉ dừng lại ở việc tính nguyên hàm thì đơn giản. Còn nếu bài toán vẫn giữ nguyên với cận dưới là $0$ thì dễ thấy $\sqrt{x^2-1}$ không tồn tại.
Bài toán sẽ có ý nghĩa hơn nếu như thay số $0$ với số $1$.

Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có
$\int\limits_{0}^{\infty }e^{
-x}\sin xdx
=-\int\limits_{0}^{\infty }e^{
-x}d(\cos x)=-\left[ {e^{-x}\cos x|_{0}^{\infty }-\int\limits_{0}^{\infty }\cos xd(e^{-x})} \right]=-e^{-x}\cos x|_{0}^{\infty }-\int\limits_{0}^{\infty }e^{-x}\cos xdx$
 Tương tự ta cũng có
$\int\limits_{0}^{\infty }e^{
-x}\cos xdx=e^{-x}\sin x|_{0}^{\infty }+\int\limits_{0}^{\infty }e^{-x}\sin xdx$
 Kết hợp ta được
$\int\limits_{0}^{\infty }e^{
-x}\sin xdx=\left[ {-\dfrac{1}{2}e^{-x}(\sin x+\cos x)} \right]_{0}^{\infty }=\dfrac{1}{2}$

Ta có
$\dfrac{1}{x\sqrt{x^2+x+1}}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1+\dfrac{1+2 x}{\sqrt{1+x+x^2}}}{{2+x+2 \sqrt{1+x+x^2}}}$
$\dfrac{1}{x\sqrt{x^2+x+1}}=(\ln x)'-\left (\ln(2+x+2 \sqrt{1+x+x^2}) \right )'$
Suy ra 
 $\int\limits_{1}^{+\infty }\dfrac{dx}{x\sqrt{x^2+x+1}}=\left[ {\ln x-\ln(2+x+2 \sqrt{1+x+x^2})} \right]_{1}^{+\infty }=\left[ {\ln\dfrac {x}{2+x+2 \sqrt{1+x+x^2}}} \right]_{1}^{+\infty }=-\ln(2\sqrt 3-3)$
 Chú ý rằng
$\lim_{x \to +\infty }\dfrac {x}{2+x+2 \sqrt{1+x+x^2}}=\dfrac{1}{3}$

Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có
$\int\limits_{0}^{\infty } x \sin xdx=-\int\limits_{0}^{\infty } x d(\cos x)=-\left[ {x\cos x|_{0}^{\infty } - \int\limits_{0}^{\infty }\cos x dx} \right]=-x\cos x|_{0}^{\infty }+\int\limits_{0}^{\infty }\cos x dx$
$=-x\cos x|_{0}^{\infty }+\sin x |_{0}^{\infty }$
$=\lim_{x \to +\infty}\left ( -x\cos x+\sin x \right )$

$\int\limits_{0}^{\infty }\dfrac{2xdx}{x^2+1}=\int\limits_{0}^{\infty }\dfrac{d(x^2+1)}{x^2+1}=\left[ {\ln (x^2+1)} \right]_{0}^{\infty }=+\infty$
 Chú ý rằng
$\lim_{x \to \infty}\ln (x^2+1)=+\infty$