Bài 1.
a) hiển nhiên thấy $U_{n+1}-U_n =(n+1)2^n >0    \forall n.$
suy ra $U_n$ là dãy tăng thực sự.
b) Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng $U_n=1+(n-1)2^n.$
Với $n=1$ hiển nhiên thấy đúng.
Giả sử điều trên đúng với $n=k$ tức là $U_k=1+(k-1)2^k.$
 Theo công thức ta có 
 $U_{k+1}=U_k +(k+1)2^k=1+(k-1)2^k+(k+1)2^k=1+2k.2^k=1+(k+1-1)2^{k+1}$.
 Tức là nó cũng đúng với $n=k+1$, đpcm.

Với $n \in \mathbb{N}$ ta cần tìm xem một số $n^2$ đồng dư bao nhiêu modulo $5$.
Xét các trường hợp
+ $n  \equiv 0 \mod 5\Rightarrow n^2  \equiv 0 \mod 5 $
+ $n  \equiv 1 \mod 5\Rightarrow n^2  \equiv 1 \mod 5 $
+ $n  \equiv 2 \mod 5\Rightarrow n^2  \equiv 4 \mod 5 $
+ $n  \equiv 3 \mod 5\Rightarrow n^2  \equiv 9 \equiv 4\mod 5 $
+ $n  \equiv 4 \mod 5\Rightarrow n^2  \equiv 16 \equiv 1 \mod 5 $
Vậy $n^2  \equiv 0,1,4 \mod 5$.

Để đạt được cấp số nhân có tổng cộng $6$ số ta cần chèn thêm $4$ số có dạng $a,aq,aq^2,aq^3, q \ne 0$.
Khi đó cấp số nhân là $160,a,aq,aq^2,aq^3, 5.$
 Như vậy dễ thấy 
$\begin{cases}160.q=a \\ aq^3.q=5 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}160=\frac{a}{q} \\ \frac{a}{q}.q^5=5 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}160=\frac{a}{q} \\ q^5=\frac{5}{160} \end{cases}\Leftrightarrow  \begin{cases}a=80 \\ q=\frac{1}{2} \end{cases} $
 Vậy $4$ số cần chèn là $80,40,20,10.$

Gọi ba số hạng đó là $a, aq, aq^2$. Trong đó $a$ là số hạng đầu tiên, $q \ne 0$ là công bội.
Theo đầu bài ta có
$\begin{cases}a+ aq+ aq^2=19\\a. aq. aq^2=216 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a(1+q+q^2)=19\\a^3q^3=216 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a(1+q+q^2)=19\\aq=6 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{6}{q} (1+q+q^2)=19\\a=\frac{6}{q} \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}(2q-3)(3q-2)=0\\a=\frac{6}{q} \end{cases}\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \begin{cases}q=2/3 \\ a=9 \end{cases}\\ \begin{cases}q=3/2 \\ a=4 \end{cases} \end{matrix}} \right.$
Vậy ta có các bộ $(9,6,4)$ hoặc $(4,6,,9)$.

Có lẽ bạn đang học môn Đại số tuyến tính I và có bài tập về tính hạng của ma trận, vì thế mình sẽ gợi ý các bước chính :)

Để tính hạng của ma trận bạn phải dùng biến đổi theo hàng. Tại bước đầu tiên cố gắng đưa vecto hàng có tọa độ đầu tiên là $1$ (nếu có ) lên trên đầu, ví dụ trong trường hợp này
$ \begin{pmatrix}3 & 1 & 1 & 4\\ m & 4 & 10 & 1\\ 1 & 7 & 17 & 3\\ 2 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 7 & 17 & 3\\3 & 1 & 1 & 4\\ m & 4 & 10 & 1\\  2 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$
Bước tiếp theo bạn cần nhân hàng thứ nhất với $m$ và lấy hàng thứ ba trừ đi nên cần xét các trường hợp

+ Nếu $m \ne 0$ thì
$ \begin{pmatrix}3 & 1 & 1 & 4\\ m & 4 & 10 & 1\\ 1 & 7 & 17 & 3\\ 2 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 7 & 17 & 3\\3 & 1 & 1 & 4\\ m & 4 & 10 & 1\\  2 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix} \sim \cdots \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & \frac{13}{2}\\ 0 & 0 & 1 &  -\frac{5}{2}\\  0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
Như vậy hạng trong trường hợp này là $3.$

+ Nếu $m = 0$ thì
$ \begin{pmatrix}3 & 1 & 1 & 4\\ 0 & 4 & 10 & 1\\ 1 & 7 & 17 & 3\\ 2 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 7 & 17 & 3\\3 & 1 & 1 & 4\\ 0 & 4 & 10 & 1\\  2 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix} \sim \cdots \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 &-\frac{1}{2} & \frac{5}{4}\\0 & 1 & \frac{5}{2} & \frac{1}{4}\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
Như vậy hạng trong trường hợp này là $2.$