Áp dụng công thức tích phân từng phần
Đặt $\begin{cases}u=\ln x \\ v=xdx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=\dfrac{1}{x}dx \\ v=\dfrac{1}{2}x^2 \end{cases}$
Do đó
$I = \int\limits_{0}^{1/2} x\ln xdx =\dfrac{1}{2}x^2\ln x|_{0}^{1/2} - \dfrac{1}{2} \int\limits_{0}^{1/2} xdx =\dfrac{1}{2}\left[ {x^2\ln x-\dfrac{1}{2}x^2} \right]_{0}^{1/2} =\boxed{\dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{1}{4}\ln \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{8}} \right] }$

Đặt
$y=\sqrt[3]{9-x}\Rightarrow y^3=9-x\Rightarrow x-3=6-y^3$
Thay vào PT ban đầu ta được
        $y=(6-y^3)^3+6$
$\Leftrightarrow y^9-18y^6+10y^3+y-222=0$
Pt này có duy nhất một nghiệm nhưng không đẹp
$y \approx 1,9654 \Rightarrow x=9-y^3 \approx 9- 1,9654^3$.

Ta có
     $e^{\sin ^{2}x} \sin 4x$
$=e^{\sin ^{2}x} (2\sin 2x\cos 2x)$
$=-2e^{\sin ^{2}x} (2\sin 2x) + (\cos 2x +2)e^{\sin ^{2}x} (2\sin 2x)$
$=e^{\sin ^{2}x} (\cos 2x +2)' + (\cos 2x +2)(e^{\sin ^{2}x} )'$
$=(e^{\sin ^{2}x} (\cos 2x +2))' $

Vậy
$ \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{\sin ^{2}x} \sin 4xdx =\left[ {e^{\sin ^{2}x} (\cos 2x +2)} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\boxed{2(e-3)}$

Ta có
$ \dfrac{x +\sin ^{2}x}{1 +\cos2x}= \dfrac{1}{2}.\dfrac{x +1-\cos^2 x}{\cos^2 x}= \dfrac{1}{2}\left[ {-1+\tan x +\dfrac{x }{\cos^2 x} +\dfrac{1 }{\cos^2 x}-\tan x} \right]$
$= \dfrac{1}{2}\left[ {(-x)'+(x \tan x)' +(\tan x)'- (\ln |\cos x|)'} \right]$
 Vậy
 $I= \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{x +\sin ^{2}x}{1 +\cos2x}dx = \dfrac{1}{2}\left[ {-x+x \tan x +\tan x- \ln |\cos x|} \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}=\boxed{\dfrac{3\sqrt 3+(\sqrt 3 -1)\pi -3\ln 2}{6}}$

Đặt $t=1+x^{2}\Rightarrow $ $\begin{cases}dt=2xdx \\x=1 \rightarrow t=2 \\ x=2 \rightarrow t=5 \end{cases}$
Ta có
$I = \int\limits_{1}^{2} (x^{3} +x)\ln (1+x^{2})dx =\dfrac{1}{2} \int\limits_{2}^{5} t\ln tdt $
Áp dụng công thức tích phân từng phần
Đặt $\begin{cases}u=\ln t \\ v=tdt \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=\dfrac{1}{t}dt \\ v=\dfrac{1}{2}t^2 \end{cases}$
Do đó
$I =\dfrac{1}{2} \int\limits_{2}^{5} t\ln tdt =\dfrac{1}{4}t^2\ln t|_{2}^{5} - \dfrac{1}{4} \int\limits_{2}^{5} tdt =\dfrac{1}{4}\left[ {t^2\ln t-\dfrac{1}{2}t^2} \right]_{2}^{5}=\boxed{-\dfrac{21}{8}-\ln 2 +\dfrac{25}{4}\ln 5}$