Ta thấy rằng
$\dfrac{1}{x}-\dfrac{y+z}{x^2+yz}=\dfrac{(x-y)(x-z)}{x^3+xyz}=a(x-y)(x-z)$
Tương tự thì ta có
$\dfrac{1}{y}-\dfrac{x+z}{y^2+xz}=b(y-x)(y-z)$
$\dfrac{1}{z}-\dfrac{x+y}{z^2+xy}=c(z-y)(z-x)$
Như vậy nếu giả sử $ x \le y \le z\Rightarrow a \ge b \ge c$ và BĐT cần chứng minh tương đương với
$a(x-y)(x-z)+b(y-x)(y-z)+c(z-y)(z-x) \ge 0$
BĐT này hiển nhiên đúng theo BĐT Schur.

Bạn xem tại đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/113696/to-hop

Đáp số của bài toán này là $2 \times 4! \times 4! $

Bạn xem tại đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/113652/bat-dang-thuc-dang-tong-quat

Bạn xem tại đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/113652/bat-dang-thuc-dang-tong-quat

Điều kiện $x <1/2.$
PT
$ \Leftrightarrow 2\log_{2} (1-2x) -2x> 2+(x+2) \log _{2} (\frac{1}{2}-x)$
$ \Leftrightarrow 2\log_{2} (1-2x) -2x> 2+(x+2)\left[ { \log_{2} (1-2x) -1} \right]$
$ \Leftrightarrow 2\log_{2} (1-2x) -2x> 2+(x+2)\left[ { \log_{2} (1-2x) -1} \right]$
$\Leftrightarrow x\left[ { \log_{2} (1-2x) +1} \right] <0$
Ta có hai trường hợp
+ $\begin{cases}0<x <1/2 \\  \log_{2} (1-2x) +1<0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}0<x <1/2 \\  1-2x<1/2 \end{cases}\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}<x<\dfrac{1}{2}$
+ $\begin{cases}x<0 \\  \log_{2} (1-2x) +1>0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x<0 \\  1-2x>1/2 \end{cases}\Leftrightarrow x<0$.
Vậy tập nghiệm là $S= (-\infty,0) \cup \left (\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2} \right )$.