Từ hệ ta suy ra
$2^x-2^y= (y-x)(xy+x^2+y^2)\Leftrightarrow 2^x-2^y=y^3-x^3\Leftrightarrow 2^x+x^3=2^y+y^3\Leftrightarrow f(x)=f(y)$
 Trong đó $f(t)=2^t+t^3$ có $f'(t) =2^t\ln2+3t^2 > 0   \forall t.$
Như vậy $ f(x)=f(y)\Leftrightarrow x=y.$
 Từ đây dễ có $x=y=\pm 1.$

Điều kiện $x \le 12.$
Đặt $a=\sqrt[3]{24+x}, b=\sqrt{12-x}$ thì
$\begin{cases}a+b \le 6 \\ a^3+b^2= 36 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a \le 6-b \\ a^3= 36-b^2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a^3 \le (6-b)^3 \\ a^3= 36-b^2 \end{cases}$
$\Rightarrow 36-b^2\le (6-b)^3\Leftrightarrow36-b^2- (6-b)^3 \le 0 $
$\Leftrightarrow (b-10)(b-6)(b-3) \le 0$
$\Leftrightarrow\left[ {\begin{matrix} 0 \le b \le 3\\ 6 \le b \le 10 \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow\left[ {\begin{matrix} 3 \le x \le 12\\ x=-24 \end{matrix}} \right.$

PT $\begin{cases}2^x+2x=3+y\\ 3+x =2^y+2y\end{cases}$
Cộng theo từng vế của HPT này ta có 
$2^x+3x=2^y+3y\Leftrightarrow f(x)=f(y)$
Trong đó $f(t) =2^t+2t$ có $f'(t)=2^t \ln 2 +2 >0   \forall t.$
Như vậy $f$ là hàm đồng biến nên từ điều kiện $f(x)=f(y)$ suy ra $x=y.$
Thay điều này vào một trong hai Pt ban đầu ta được.
$2^x+2x=3+x\Leftrightarrow 2^x+x-3=0\Leftrightarrow g(x) =0$
Trong đó $g(x) =2^x+x-3$ có $g'(x)=2^x\ln+1 >0   \forall x.$
Như vậy PT $g(x)=0$ có duy nhất một nghiệm và thấy rằng $g(1)=0$.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $x=y=1.$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Đặt
$\begin{cases}a=x+1 \\ b=y+1 \end{cases}\Rightarrow 0 \le x,y \le 1$.
Ta sẽ chứng minh $P \ge 1$ bằng cách chứng minh $a+b \ge a^2+b^2-ab$.
Thậy vậy
$\Leftrightarrow x+y+2 \ge (x+1)^2+(y+1)^2-(x+1)(y+1)$
$\Leftrightarrow 1+xy \ge x^2+y^2$
Mặt khác điều này hiển nhiên đúng do
$\begin{cases}x \ge x^2 \\ y\ge y^2\\(1-x)(1-y) \ge 0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x \ge x^2 \\ y\ge y^2\\1+xy \ge x+y \end{cases} \Rightarrow 1+xy \ge x^2+y^2$
Vậy $\min P =1 \Leftrightarrow (x,y)\in \{ (1,0),(0,1),(1,1)\}\Leftrightarrow (a,b)\in \{ (1,2),(2,1),(2,2)\}$