Điều kiện $\begin{cases}x \ge -1 \\  x^{2}+x-3>0\end{cases}$
PT
$\Leftrightarrow x^{2}+x-3=3\sqrt{x^{3}+1}$
$\Leftrightarrow (x^{2}+x-3)^2=9(x^{3}+1)$
$\Leftrightarrow x^4-7x^3-5x^2-6x=0$
$\Leftrightarrow x^3-7x^2-5x-6=0$
PT bậc ba này không có nghiệm đẹp. Để xem cách giải PT bậc ba tổng quát bạn có thể tham khảo phương pháp Cardano trên Google nhé.
Pt có nghiệm duy nhất

Giả sử rằng PT có nghiệm thì tất cả các biểu thức trong căn phải không âm.
Ta sẽ chứng minh điều sau
$$\sqrt{x+\sqrt{x^2-x+1} }<\sqrt{x+1+\sqrt{x^2+x+1} }+1$$
với mọi $x$ là cho các biểu thức có nghĩa.
Thật vậy,
+ Xét $x \ge 0$ thì hiển nhiên có
       $0 < x^2-x+1 \le x^2+x+1$
$\Leftrightarrow x+\sqrt{x^2-x+1}<x+1+\sqrt{x^2+x+1}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+\sqrt{x^2-x+1} }<\sqrt{x+1+\sqrt{x^2+x+1} }+1$
+ Xét $x < 0$ thì
       $0 < x^2-x+1 < x^2-2x+1=(1-x)^2$
$\Leftrightarrow \sqrt{x^2-x+1}<1-x$
$\Leftrightarrow x+\sqrt{x^2-x+1}<1$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+\sqrt{x^2-x+1} }<\sqrt{x+1+\sqrt{x^2+x+1} }+1$

Tóm lại PT đã cho vô nghiệm.

Điều kiện $x > 2.$
PT
$\Leftrightarrow \sqrt[4]{\dfrac{x-1}{x-2}}+4m+(m+3) \sqrt[4]{\dfrac{x-2}{x-1}}=0$
Đặt $t= \sqrt[4]{\dfrac{x-1}{x-2}}>1$, thì PT
$\Leftrightarrow t+4m+(m+3)\dfrac{1}{t}=0\Leftrightarrow m(4+\dfrac{1}{t})=-\dfrac{3}{t}-t$
$\Leftrightarrow m=f(t)=\dfrac{-3-t^2}{4t+1}$
Lập bảng biến thiên của $f(t)$ trên $t>1$ ta suy ra $m <f(1)=-\dfrac{4}{5}$

Điều kiện $x \ge 1.$
PT
$\Leftrightarrow m= \dfrac{-3\sqrt{x-1}+2\sqrt[4]{x^2-1}}{\sqrt{x+1}}=-3\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}+2\sqrt[4]{\dfrac{x-1}{x+1}}$
Đặt $\begin{cases}t=\sqrt[4]{\dfrac{x-1}{x+1}}\Rightarrow 0 \le x <1 \\ m=f(t)=-3t^2+2t \end{cases}$
Lập bảng biến thiên của hàm $f(t)=-3t^2+2t$ trên $0 \le x <1$ ta có
$\underbrace{-1}_{\min_{[0,1)} f(t) } < f(t) \le \underbrace{\dfrac{1}{3}}_{\max_{[0,1)} f(t) }\Leftrightarrow \boxed{-1 < m \le\dfrac{1}{3} }$

Bạn xem tại đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/114779/tinh-tong

Điều kiện $x \ge 0.$
Hiển nhiên có các bđt sau
$\begin{cases}x^2+1 \ge 2x\\ x^6+x^4 \ge 2x^5 \end{cases}\Rightarrow x^6+x^4+x^2+1 \ge 2(x^5+x)$
Đặt
$a=\sqrt{x^5+x^3+x}, b=\sqrt{x^2(x^2-x+1)}, c=\sqrt{(x^2+1)^3} $
Ta có
$(a+b)^2 \le 2(a^2+b^2) =2(x^5+x^4+x^2+x) \le x^6+x^4+x^2+1+2x^4+2x^2=(x^2+1)^3=c^2$
Như vậy với Điều kiện $x \ge 0$ ta luôn có
$(a+b)^2 \le c^2 \Leftrightarrow a+b \le c\Leftrightarrow a \le c-b$.
Vậy tập nghiệm của BPT là $x \ge 0.$

Điều kiện $x \ge 0.$
Hiển nhiên có các bđt sau
$\begin{cases}x^2+1 \ge 2x\\ x^6+x^4 \ge 2x^5 \end{cases}\Rightarrow x^6+x^4+x^2+1 \ge 2(x^5+x)$
Đặt
$a=\sqrt{x^5+x^3+x}, b=\sqrt{x^2(x^2-x+1)}, c=\sqrt{(x^2+1)^3} $
Ta có
$(a+b)^2 \le 2(a^2+b^2) =2(x^5+x^4+x^2+x) \le x^6+x^4+x^2+1+2x^4+2x^2=(x^2+1)^3=c^2$
Như vậy với Điều kiện $x \ge 0$ ta luôn có
$(a+b)^2 \le c^2 \Leftrightarrow a+b \le c\Leftrightarrow a \le c-b$.
Vậy tập nghiệm của BPT là $x \ge 0.$