a) BPT
$\Leftrightarrow (\frac{2}{5})^x -(\frac{5}{2})^{x+1}-\frac{3}{2}>0$
Đặt $t= (\frac{2}{5})^x>0$ thì BPT
$\Leftrightarrow t-\frac{5}{2}.\frac{1}{t}-\frac{3}{2}>0\Leftrightarrow 2t^2-3t-5>0\Leftrightarrow (2t-5)(t+1)>0$
$\Leftrightarrow t > \frac{5}{2}\Leftrightarrow (\frac{2}{5})^x> (\frac{2}{5})^{-1} \Leftrightarrow x<-1.$

a) PT
$\Leftrightarrow \frac{2^{x-1}+4x-16}{x-2}-4>0\Leftrightarrow \frac{2^{x-1}+4x-16-4(x-2)}{x-2}>0\Leftrightarrow \frac{2^{x-1}-8}{x-2}>0$
$\Leftrightarrow (2^{x-1}-8)(x-2) >0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \begin{cases}2^{x-1}>8 \\ x>2 \end{cases}\\ \begin{cases}2^{x-1}<8 \\ x<2 \end{cases}\end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x>4\\x<2\end{matrix}} \right.$

Bài 2. Điều kiện $x \ge \pm y.$ Từ điều kiện này suy ra $x \ge 0.$
Từ PT thứ nhất dễ có
$\sqrt {x+y}=\sqrt {x-y}+2\Leftrightarrow\sqrt {x+y}-\sqrt {x-y}=2\Leftrightarrow 2x-2\sqrt {x^2-y^2}=4$
$\Leftrightarrow x+1=\sqrt {x^2-y^2}+3          (*)$
Thay vào PT Thứ nhất ta được
$\sqrt{x^2+y^2+1}=x+1$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+1=x^2+2x+1\Leftrightarrow y^2=2x$
Thay vào $(*)$ ta được
$x-2=\sqrt{x^2-2x}\Leftrightarrow \begin{cases}x\ge 2 \\ (x-2)^2=x(x-2) \end{cases}\Leftrightarrow x=2.$
Thay vào kiểm tra thì thấy nghiệm của hệ là $(x,y)=(2,2)$.

PT
$\Leftrightarrow \sqrt{3}\left(\cos x-2\sin^2 x\right)+3\sin x-2\sin x\cos x=0$
$\Leftrightarrow\cos x\left( \sqrt{3}-2\sin x\right)+\sqrt{3}\sin x\left( \sqrt{3}-2\sin x\right)=0$
$\Leftrightarrow (\cos x+\sqrt{3}\sin x)\left( \sqrt{3}-2\sin x\right)=0$
$\Leftrightarrow \sin (x + \frac{\pi}{3}) \left( \sqrt{3}-2\sin x\right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \sin (x + \frac{\pi}{3})=0\\ \sin x =\frac{\sqrt 3}{2} \end{matrix}} \right.$
Đến đây bạn từ tìm ra nghiệm nhé :)

Áp dụng BĐT dạng       $a^3+b^3 \ge \frac{1}{4}(a+b)^3   \forall a,b \ge 0$, ta được
$(\sin^{2} x)^{3}+(1+\cos ^{2}x)^{3} \ge \frac{1}{4}(\sin^{2} x+1+\cos ^{2}x)^3=2 >1\ge 1-\cos ^{12}x$.
Như vậy PT đã cho vô nghiệm.

Ta có
$\frac{\tan ^{2}\frac{x}{2}-1}{\tan ^{2}\frac{x}{2}+1}=\frac{\sin^{2}\frac{x}{2}-\cos ^{2}\frac{x}{2}}{\cos ^{2}\frac{x}{2}+\sin^{2}\frac{x}{2}}=-\cos x$.
Như vậy PT
$\Leftrightarrow (\frac{x}{\pi})^{2}=\sin \frac{x}{2}$
Xét hàm số   $f(x) = (\frac{x}{\pi})^{2}-\sin \frac{x}{2}$
có $f''(x)=\frac{2}{\pi}+\frac{1}{4}\cos \frac{x}{2} \ge \frac{2}{\pi}-\frac{1}{4}>0$
Do đó theo định lý Roll thì PT này có tối đa hai nghiệm. Mặt khác dễ thấy $f(0)=f(\pi)=0$.
Vậy PT có hai nghiệm $x=0, x=\pi.$