Ta có
$\sin (\frac{\pi}{4}+\frac{3x}{2})=\sin \left[ {\pi -3(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})} \right]=\sin \left[ {3(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})} \right]=3\sin (\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})-4\sin^3(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})$
Vậy PT
$\Leftrightarrow 3\sin (\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})-4\sin^3(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})=3\sin (\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})$
$\Leftrightarrow 4\sin^3(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})=0$
$\Leftrightarrow \sin(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})=0$
$\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}-k2\pi           (k \in \mathbb{Z}).$

Điều kiện $\cos x, \cos 2x, \cos 4x \ne 0$.
PT
$\Leftrightarrow \tan x \cos 4x = -\tan 2x \cos 2x \Leftrightarrow \sin x \cos 4x =-\sin 2x\cos x$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \sin x =0\\ \cos 4x =- 2\cos^2 x \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \sin x =0\\ 2\cos^22x-1=-\cos 2x-1 \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \sin x =0\\\cos 2x=-\frac{1}{2} \end{matrix}} \right.$
Đến đây giải tiếp đơn giản :)

Hiển nhiên thấy rằng
$0<\frac{1}{\sqrt{1+(\sqrt{6}+ \sqrt{2}-\sqrt{3}-2)^{2}} }<1$
nên PT đã cho luôn có nghiệm. Nhưng nó không phải là nghiệm đẹp. Vì thế đáp số đơn giản chỉ là
$x = \pm \arccos \frac{1}{\sqrt{1+(\sqrt{6}+ \sqrt{2}-\sqrt{3}-2)^{2}} } +k2\pi         (k \in \mathbb{Z}).$