Ta có
    $\frac{2013\sin x + x\cos x - 4x\sin x - x(4x - 2014)}{x^2 + x\sin x}$
$=\frac{-4x(x+\sin x)+2013(x +\sin x)+x(1+ \cos x)}{x(x + \sin x)}$
$=-4+\frac{2013}{x}+\frac{1+ \cos x}{x + \sin x}$
$=-4+2013 (\ln x)'+(\ln (x+\sin x))'$
Vậy
     $\int\frac{2013\sin x + x\cos x - 4x\sin x - x(4x - 2014)}{x^2 + x\sin x}dx$
$=\boxed{-4x +2013 \ln x + \ln (x+\sin x)+ C} $

Đặt $t=-x \Leftrightarrow dt$=-dx
$I=\int_{-2012}^{2012}\ln(\sqrt{x^{2010}+1}+x^{1005})dx$
$I=\int_{2012}^{-2012}-\ln(\sqrt{t^{2010}+1}-t^{1005})dt$
$I=\int_{-2012}^{2012}\ln(\sqrt{t^{2010}+1}-t^{1005})dt$
$I=\int_{-2012}^{2012}\ln\frac{1}{\sqrt{t^{2010}+1}+t^{1005}}dt$
$I=\int_{-2012}^{2012}-\ln(\sqrt{t^{2010}+1}+t^{1005})dt$
$I=-I$
$\boxed{I=0}$

Vì đây là PT chứa dấu giá trị tuyệt đối nên ta xét hai trường hợp
+Nếu $mx-1=5\Leftrightarrow mx =6\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=\frac{6}{m}      \text{ với }  m \ne 0\\ \text{tập nghiệm}  S=\emptyset \text{ với }  m = 0\end{matrix}} \right.$
+Nếu $mx-1=-5\Leftrightarrow mx =-4\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=\frac{-4}{m}      \text{ với }  m \ne 0\\ \text{tập nghiệm}  S=\emptyset \text{ với }  m = 0\end{matrix}} \right.$
Vậy
Với $m=0$ thì PT vô nghiệm.
Với $m \ne 0$ thì $S=\left\{ {\frac{6}{m},\frac{-4}{m}} \right\}$

b) Xét hàm số trên $x \in \mathbb{R}$
$f(x)= 7^{6-x}-x-2$ có $f'(x)=- 7^{6-x}\ln 7 -1 <0     \forall x \in \mathbb{R}$.
Nên $y$ là hàm nghịch biến, do đó nếu PT $ f(x)=0$ có nghiệm hì đây là nghiệm duy nhất.
Mặt khác dễ thấy $f(5)=0$. Vậy PT có nghiệm duy nhất $x=5$.

a)
Theo tính chất của hình bình hành thì hiển nhiên có $MN \parallel AD \parallel BC$
suy ra $MN \parallel mp(SAD), MN \parallel mp(SBC)$
b)
Gọi $P$ là trung điểm của $SD$. Ta có $IP \parallel MN$ suy ra $mp(IMN)$ chính là $mp(MNIP)$.
mặt khác
$\begin{cases}SB  \parallel IM\\SC  \parallel PN \end{cases}\Rightarrow SB,SC  \parallel mp(IMN)$