Giả sử số cần tìm có dạng $\overline{abcd}$ trong đó $ 1 \le a <b<c<d \le 9$.
Thấy rằng $a \notin \left\{ {7,8,9} \right\}$.
Với $a=1$, thì ta có $C_8^3$ cách chọn các số còn lại cho vị trí $b,c,d$. Với mỗi các chọn này có một cách duy nhất sắp xếp các số thỏa mãn bài toán. Ví dụ chọn $b,c,d \in \left\{ {2,9,7} \right\}$ thì chỉ có duy nhất cách $\overline{abcd}=1279$.
Tương tự
với $a=2$ ta có $C_7^3$ cách.
với $a=3$ ta có $C_6^3$ cách.
với $a=4$ ta có $C_5^3$ cách.
với $a=5$ ta có $C_4^3$ cách.
với $a=6$ ta có $C_3^3$ cách.
Vậy đáp số là
$C_3^3+C_4^3+C_5^3+C_6^3+C_7^3+C_8^3=126$

a) Từ giả thiết bài toán suy ra đây là lăng trụ đứng tam giác đều. Kẻ $CH \perp A'B'$ thì $H$ là trung điểm $A'B'$ và $CH \perp (ABB'A')\Rightarrow CH \perp BH\Rightarrow \widehat{HBC'}=30^\circ$.
Như vậy $BH=C'H\cot 30^\circ=\sqrt 3\frac{a\sqrt 3}{2}=\frac{3a}{2}.$
Suy ra $AA'=BB'=\sqrt{\left (\frac{3a}{2} \right )^2+\left (\frac{a}{2} \right )^2}=\sqrt{\frac{5}{2}}a$

Từ PT thứ hai ta có
$a^2+7=2b(a-1)\Leftrightarrow b=\frac{a^2+7}{2(a-1)}$.
Thay vào PT thứ nhất ta có
$a^2-\left (\frac{a^2+7}{2(a-1)}\right )^2-2a+2\frac{a^2+7}{2(a-1)}+3=0$
$\Leftrightarrow 3x^3- 12x^3+ 14x^2- 4x- 65=0$
$\Leftrightarrow (a^2-2a+5)(3a^2-6a-13)=0$
$\Leftrightarrow (a,b) \in \left\{ {\left ( 1-\frac{4}{\sqrt 3},1-\frac{5}{\sqrt 3} \right ),\left ( 1+\frac{4}{\sqrt 3},1+\frac{5}{\sqrt 3} \right )} \right\}$

d)
Từ PT thứ nhất ta có
$\underbrace{\iff}_{\begin{matrix} a=2x+y\\ b=2x-y\end{matrix}}a^2-5ab+6b^2=0\Leftrightarrow (a-2b)(a-3b)=0$
+ Nếu $a=2b$. Thì từ PT thứ hai
$a+\frac{1}{b}=3\Leftrightarrow 2b+\frac{1}{b}=3\Leftrightarrow2b^2-3b+1=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}\begin{cases}a=2 \\ b=1 \end{cases}\\ \begin{cases}a=1 \\ b=1/2 \end{cases} \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow (x,y) \in \left\{ {(3/4,1/2), (3/8,1/4)} \right\}$
+ Nếu $a=2b$. Thì từ PT thứ hai
$a+\frac{1}{b}=3\Leftrightarrow 3b+\frac{1}{b}=3\Leftrightarrow3b^2-3b+1=0$, PT này vô nghiệm.
Vậy
$ (x,y) \in \left\{ {(3/4,1/2), (3/8,1/4)} \right\}$

b) Đặt $a=x+\frac{1}{y}, b=x+y-3$. Ta có HPT
$\Leftrightarrow \begin{cases}\sqrt{a}+\sqrt{b}=3 \\ a+b=5  \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\sqrt{a}+\sqrt{b}=3 \\ \left (\sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}=5  \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\sqrt{a}+\sqrt{b}=3 \\ \sqrt{a}\sqrt{b}=2  \end{cases} $
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \begin{cases}a=4 \\ b=1  \end{cases} \\  \begin{cases}a=1 \\ b=4  \end{cases} \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow (x,y) \in \left\{ {(3,1), (5,-1),\left (4+\sqrt {10}, 3-\sqrt {10} \right ),\left (4-\sqrt {10}, 3+\sqrt {10} \right )} \right\}$

b) Đặt $a=x+\frac{1}{y}, b=x+y-3$. Ta có HPT
$\Leftrightarrow \begin{cases}\sqrt{a}+\sqrt{b}=3 \\ a+b=5  \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\sqrt{a}+\sqrt{b}=3 \\ \left (\sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}=5  \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\sqrt{a}+\sqrt{b}=3 \\ \sqrt{a}\sqrt{b}=2  \end{cases} $
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \begin{cases}a=4 \\ b=1  \end{cases} \\  \begin{cases}a=1 \\ b=4  \end{cases} \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow (x,y) \in \left\{ {(3,1), (5,-1),\left (4+\sqrt {10}, 3-\sqrt {10} \right ),\left (4-\sqrt {10}, 3+\sqrt {10} \right )} \right\}$

d)
Từ PT thứ nhất ta có
$\underbrace{\iff}_{\begin{matrix} a=2x+y\\ b=2x-y\end{matrix}}a^2-5ab+6b^2=0\Leftrightarrow (a-2b)(a-3b)=0$
+ Nếu $a=2b$. Thì từ PT thứ hai
$a+\frac{1}{b}=3\Leftrightarrow 2b+\frac{1}{b}=3\Leftrightarrow2b^2-3b+1=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}\begin{cases}a=2 \\ b=1 \end{cases}\\ \begin{cases}a=1 \\ b=1/2 \end{cases} \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow (x,y) \in \left\{ {(3/4,1/2), (3/8,1/4)} \right\}$
+ Nếu $a=2b$. Thì từ PT thứ hai
$a+\frac{1}{b}=3\Leftrightarrow 3b+\frac{1}{b}=3\Leftrightarrow3b^2-3b+1=0$, PT này vô nghiệm.
Vậy
$ (x,y) \in \left\{ {(3/4,1/2), (3/8,1/4)} \right\}$