b) Theo công thức tỉ số thể tích thì
$\frac{V_{S.AKI}}{V_{S.AHC}}=\frac{SI}{SC}.\frac{SK}{SH}         (1)$

+ Do $SAC$ là tam giác cân tại $A$ nên $\frac{SI}{SC}=\frac{1}{2}$

+ Theo câu a) Ta có $HC=a \cos \alpha $.
$\frac{SK}{SH}=\frac{SK.SH}{SH^2}=\frac{SA^2}{SH^2}=\frac{a^2}{SC^2-CH^2}=\frac{a^2}{2a^2-a^2 \cos^2 \alpha }=\frac{1}{2-\cos^2 \alpha }$

Vậy tóm lại từ $(1)$ và câu a) ta có
$V_{S.AKI}=V_{S.AHC}.\frac{SI}{SC}.\frac{SK}{SH} =\frac{1}{12}a^3\sin 2\alpha.\frac{1}{2}.\frac{1}{2-\cos^2 \alpha }=\frac{a^3\sin 2\alpha}{48-24\cos^2 \alpha }$

a) Theo giả thiết ta có
$\begin{cases}CH \perp SH \\ CH \perp SA (  \text{do}   SA \perp mp(ABC)) \end{cases}\Rightarrow CH \perp mp(SAH) \Rightarrow CH \perp AH$
Do đó $HC=AC \cos \alpha =a \cos \alpha$
Suy ra $S_{AHC}=\frac{1}{2}AC.HC.\sin \alpha=\frac{1}{4}a^2\sin 2\alpha$
Suy ra $V_{S.AHC}=\frac{1}{3}SA.S_{AHC}=\frac{1}{12}a^3\sin 2\alpha \le \frac{1}{12}a^3.$
Vậy $\max V_{S.AHC}= \frac{1}{12}a^3\Leftrightarrow \sin 2\alpha=1\Leftrightarrow \alpha=\frac{\pi}{4}$.

a)
Tam giác $ABC$ có các góc $A, B, C$ nhọn nên:
$\cos A>0, \cos B>0$ và $\cos C>0$.
Ta có $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq   \frac{4}{x+y}$, suy ra:
$\frac{1}{\cos A}+\frac{1}{\cos B}\geq  \frac{4}{\cos A+\cos B}=  \frac{4}{2 \cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}  }=\frac{2}{\sin \frac{C}{2}\cos \frac{A-B}{2} }$
Vậy $\frac{1}{\cos A}+\frac{1}{\cos B}\geq  \frac{2}{\sin \frac{C}{2} }$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
$\left\{ \begin{array}{l} \cos A=\cos B\\ \cos \frac{A-B}{2}=1  \end{array} \right.\Leftrightarrow A=B.$
Tương tự, ta có: $\frac{1}{\cos B}+\frac{1}{\cos C}\geq  \frac{2}{\sin \frac{A}{2} }, $
dấu "=" xảy ra khi $B=C$, và:
$\frac{1}{\cos C}+\frac{1}{\cos A}\geq  \frac{2}{\sin \frac{B}{2} }, $
dấu "="  xảy ra khi $C=A$. Cộng (1), (2) và (3) từng vế một ta được:
$\frac{1}{\cos A}+\frac{1}{\cos B}+\frac{1}{\cos C}\geq \frac{1}{\sin \frac{A}{2} }+\frac{1}{\sin \frac{B}{2} }+\frac{1}{\sin \frac{C}{2} }$.
dấu "=" xảy ra khi $A=B=C$. Theo đề bài, dấu bằng đã xảy ra nên $\Delta ABC$ là tam giác đều.

Áp dụng b)
Theo định lý hàm số Cos
$\cos A =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\Rightarrow \cos \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}=\sqrt{\frac{(b+c)^2-a^2}{4bc}}=\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}$
Trong đó $p$ là nửa chu vi.
Mặt khác tại đây

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/114599/chung-minh-ho-em-voi

ta đã chứng minh

$l_a=\frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)}=\frac{2bc\cos(\frac{A}{2})}{b+c}$, đpcm.