Áp dụng a)
Hiển nhiên có $\cos 30 =\frac{\sqrt 3}{2}\Rightarrow 2\cos^2 15 -1 =\frac{\sqrt 3}{2}\Rightarrow \cos^2 15=\frac{2+\sqrt 3}{4}$
Do $\cos 15 > 0\Rightarrow \cos 15= \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{2} = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}$
$\Rightarrow 2\cos^2 7^\circ 30' -1 = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}\Rightarrow \cos^27^\circ 30'=\frac{1+2\sqrt 2+\sqrt 3}{4\sqrt 2}$
Do $\cos7^\circ 30' > 0\Rightarrow \cos 7^\circ 30'=\displaystyle{\sqrt{\frac{1+2\sqrt 2+\sqrt 3}{4\sqrt 2}}}$

b) Ta có
$\cos 2\alpha=\cos \widehat{AMC}=\frac{MH}{AM}=\frac{2(CM-CH)}{BC}=1-2\frac{CH}{BC}=1-2\frac{CH.BC}{BC^2}=1-2\frac{AC^2}{BC^2}=1-2\sin^2 \alpha$, đpcm.
 Ta biết rằng $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha=1$ nên các đẳng thức còn lại dễ dàng để chứng minh.

a) Vẽ tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{ABC}=\alpha<45^\circ\Rightarrow AB>AC$.
Gọi $M$ là trung điểm $BC$ thì $\widehat{AMC}=2\alpha$.
Kẻ $AH \perp BC, H \in[MC]$.
Ta có
$\sin 2\alpha=\sin \widehat{AMC}=\frac{AH}{AM}=\frac{2AH}{BC}=2\frac{AH}{AB}.\frac{AB}{BC}=2\sin\alpha.\cos \alpha$, đpcm.

Nhắc lại công thức quen thuộc trong Logarit. Nếu các biểu thức sau có nghĩa thì ta có công thức
$$\log_a b.\log_b c= \log_a c$$
Như vậy ta có
$\log_a M.\log_M N= \log_a N\Rightarrow \frac{\log_a M}{\log_a N}=\log_M N$
$\log_b M.\log_M N= \log_b N\Rightarrow \frac{\log_b M}{\log_b N}=\log_M N$
Kết hợp hai điều trên ta có đpcm.

Dùng công thức Stewart để có được công thức về đường phân giác. Bạn có thể xem tại đây

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/114599/chung-minh-ho-em-voi

Ta có
$\begin{cases}l_a=\frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)} \\ l_b=\frac{2}{a+c}\sqrt{acp(p-b)} \end{cases}$
Giả sử
$l_a=l_b\Leftrightarrow l_a^2=l_b^2 \Leftrightarrow \frac{4}{(b+c)^2}bcp(p-a)=\frac{4}{(a+c)^2}acp(p-b)$
$\Leftrightarrow \frac{1}{(b+c)^2}b(p-a)=\frac{1}{(a+c)^2}a(p-b)$
$\Leftrightarrow \frac{1}{(b+c)^2}b\frac{b+c-a}{2}=\frac{1}{(a+c)^2}a\frac{a+c-b}{2}$
$\Leftrightarrow b(a+c)^2(b+c-a)=a(b+c)^2(a+c-b)$
$\Leftrightarrow b(a+c)^2(b+c-a)-a(b+c)^2(a+c-b)=0$
Thực hiện khai triển và phân tích thành nhân tử ta được
$\Leftrightarrow (a-b)(ab^2+a^2b+bc^2+ac^2+3abc+c^3)=0$
$\Leftrightarrow a=b$
$\Leftrightarrow $ tam giác là tam giác cân.

Ta có
$4 + \sqrt{15}=\frac{1}{2}(8 + 2\sqrt{15})=\frac{1}{2}(\sqrt 5 + \sqrt 3)^2$
$ \sqrt{10} - \sqrt {6}=\sqrt{2}(\sqrt 5 - \sqrt 3)$
$\sqrt{4 - \sqrt{15}}=\sqrt{\frac{1}{2}(8 - 2\sqrt{15})}=\sqrt{\frac{1}{2}(\sqrt 5 - \sqrt 3)^2}=\frac{1}{\sqrt 2}(\sqrt 5 - \sqrt 3)$
Vậy
$(4+\sqrt{15}) ( \sqrt{10} - \sqrt {6}) \sqrt {4- \sqrt15} =\frac{1}{2}(\sqrt 5 + \sqrt 3)^2(\sqrt 5 - \sqrt 3)^2=\frac{1}{2}(5-3)^2=2$. đpcm.