b) Vì $O$ là giao điểm của hai đường chéo nên $O$ là trung điểm mỗi đường.
Từ câu a suy ra $P, Q$ lần lượt là trung điểm của $CD, AB$.
Theo tính chất đường trung bình thì hiển nhiên có đpcm.

a) Ta dễ thấy
$\begin{cases}MO \parallel SB \rightarrow MO \parallel mp(SBC) \\NO \parallel SC \rightarrow NO \parallel mp(SBC) \end{cases} \Rightarrow mp(OMN) \parallel mp(SBC)$
do hai mặt phẳng $MNO$ và $ABCD$ có chung điểm $O$ nên suy ra chúng cắt nhau theo giao tuyến $(d) \parallel BC.$

Trước hết ta cần điều kiện $\begin{cases}x>0 \\ x+2>0 \end{cases}\Leftrightarrow x>0$
Để biểu thức có nghĩa thì cần có
$\lg x + \lg (x+2) \ge 0\Leftrightarrow \lg x(x+2) \ge 0\Leftrightarrow x(x+2) \ge 1$, do hàm $\lg$ là hàm logarit cơ số $10>1$ nên là hàm đồng biến.
Ta có
$\begin{cases}x>0 \\  x^2+2x-1 \ge 0 \end{cases}\Leftrightarrow \boxed{x \ge \sqrt 2 -1}$

Khai triển và rút gọn thì BĐT cần chứng minh tương đương với
\[
\sum_{sym}a^6 + 2\sum_{sym}a^5b + 2\sum_{sym}a^3b^3 + \sum_{sym}a^4bc + 4\sum_{sym}a^3b^2c \geq 6\sum_{sym}a^4b^2 + 4\sum_{sym}a^2b^2c^2
\]
Sử dụng BĐT Schur và Muirhead ta có
$$\sum_{sym}a^6 + \sum_{sym}a^4bc \geq 2\sum_{sym}a^5b \geq 2\sum_{sym}a^4b^2$$
Sử dụng BĐT Muirhead tiếp tục ta được 
$$2\sum_{sym}a^5b + 2\sum_{sym}a^3b^3 + 4\sum_{sym}a^3b^2c \geq 4\sum_{sym}a^4b^2 + 4\sum_{sym}a^2b^2c^2$$
Và ta có đpcm.

Xét hai trường hợp :
*Trường hợp $1:$ Nếu $k=1$ thì :
$\overrightarrow {M'N'}=\overrightarrow {MN}\Rightarrow  MNN'M'  $ là hình bình hành $\Rightarrow  \overrightarrow {MM'}=\overrightarrow {NN'}  $
suy ra $M',N'$ theo thứ tự là ảnh của $M,N$ trong phép tịnh tiến theo véctơ $\overrightarrow {v}=\overrightarrow {MM'}  $
Vậy trong trường hợp này $F$ là một phép tịnh tiến

*Trường hợp $2:$ Nếu $k\neq  1$ thì đẳng thức $\overrightarrow {M'N'}=k\overrightarrow {MN}  $ suy ra :
$MN//M'N'$ và $MN\neq  M'N'$ nên $MM'\cap NN'=\left\{ {O} \right\} $
Từ đó ta nhận được :
$\frac{OM'}{OM}=\frac{ON'}{ON}=\frac{MM'}{NN'}=k   $
$\Rightarrow  \overrightarrow {OM'}=k\overrightarrow {OM}  $ và $\overrightarrow {ON'}=k\overrightarrow {ON}  $
suy ra $M',N'$ theo thứ tự là ảnh của $M,N$ trong phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k$

Đặt $t= \frac{\pi}{2}-x \Rightarrow dt=-dx, x=0 \rightarrow t= \frac{\pi}{2}, x= \frac{\pi}{2}\rightarrow t=0$
$I= \int_{0}^{\pi /2}\frac{\sin ^{2012}x}{\sin ^{2012}x + \cos ^{2012}x}dx$
$I= -\int_{\pi /2}^{0}\frac{\sin ^{2012}\left (  \frac{\pi}{2}-t \right )}{\sin ^{2012}\left (  \frac{\pi}{2}-t \right ) + \cos ^{2012}\left (  \frac{\pi}{2}-t \right )}dt$
$I= \int_{0}^{\pi /2}\frac{\cos ^{2012}t}{\cos ^{2012}t+ \sin ^{2012}t}dt$
$I= \int_{0}^{\pi /2}\left[ {1-\frac{\sin ^{2012}t}{\cos ^{2012}t+ \sin ^{2012}t}} \right]dt$
$I= \int_{0}^{\pi /2}dt-I$
$\boxed{I=\frac{\pi}{4}}$