Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

$I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{x + (x + \sin x)\sin x}{\sin^2 x (1 + \sin x)} dx$
$I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{x}{\sin^2 x}dx+ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{1}{1 + \sin x} dx$

$I=I_1+I_2$
Trong đó
$I_1=\int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{xdx}{\sin^2x}=\int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \left (\cot x -\cot x+ \frac{x}{\sin^2x} \right )dx$
 $= \int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \cot xdx- \int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \left (\cot x- \frac{x}{\sin^2x} \right )dx$
$= \int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{d(\sin x)}{\sin x}- \int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \left (x\cot x \right )'dx$
 $=\left[ {\ln |\sin x|-x\cot x} \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} $
 $=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt 3}\pi}$

$I_2= \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{1}{1 + \sin x} dx$
$=2 \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{(\sin\frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2})(\sin\frac{x}{2})'-(\sin\frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2})'(\sin\frac{x}{2})}{(\sin\frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2})^2} dx$
$=2 \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \left ( \frac{\sin\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}} \right )' dx$
$=\left[ {   2\frac{\sin\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}}   } \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} $
$4-2\sqrt 3$

Vậy $\boxed{I=\frac{1}{\sqrt 3}\pi+4-2\sqrt 3}$

Ta có
$ \sum_{cyc} \frac{a^2}{b} - \sum_{sym} a = \sum_{cyc}( \frac{a^2}{b} + b-2a ) = \sum_{cyc} \frac{(a-b)^2}{b}  $
Ta cần chứng minh
$\sum_{cyc} \frac{(a-b)^2}{b} - \frac{4(a-b)^2}{a+b+c} \ge 0 $
$ \Leftrightarrow S_c(a-b)^2+S_a(b-c)^2+S_b(c-a)^2 \ge 0 $
Trong đó
$
\begin{cases}
S_a = \frac{1}{c} \\
S_b = \frac{1}{a} \\
S_c = \frac{1}{b} - \frac{4}{a+b+c}
\end{cases}
$
Bằng phương pháp SOS ta cần kiểm tra
$
\begin{cases}
S_b \ge 0 \\
S_b +S_c \ge 0 \\
S_b + S_a \ge 0
\end{cases}
$
Và ta chỉ cần kiểm tra
$ S_b +S_c=  \frac{1}{a}+\frac{1}{b} - \frac{4}{a+b+c} \ge \frac{4}{a+b} - \frac{4}{a+b+c} \ge 0 $.
Vậy ta có đpcm.

$I=\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{xdx}{\sin^2x}=\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\left (\cot x -\cot x+ \frac{x}{\sin^2x} \right )dx$
 $= \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\cot xdx- \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\left (\cot x- \frac{x}{\sin^2x} \right )dx$
$= \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{d(\sin x)}{\sin x}- \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\left (x\cot x \right )'dx$
 $=\left[ {\ln |\sin x|-x\cot x} \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} $
 $=\boxed{\displaystyle{\frac{9-4\sqrt 3}{36}\pi+\frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}}}$

Dễ thấy rằng với mọi $n$ thì $x_n \in [-1,1].$
Tiếp theo ta chứng minh $\cos x$ là hàm co, dễ thấy vì theo định lý Lagrange
$|\cos x_1 - \cos x_2|=|\sin c||x_1-x_2| \le |x_1-x_2|$ với $c \in (x_1,x_2).$
Như vậy với bất kỳ điểm xuất phát $x_0$ nào thì quá trình lặp đều hội tụ tới điểm $\xi$ duy nhất sao cho $\xi=\cos \xi$.
Việc chứng minh PT $a=\cos a$ có nghiệm duy nhất là một điều không phức tạp.