Vì $2>1$ nên hàm số $f(x)=\log_2 x$ là hàm số đồng biến trên $(0, +\infty)$.
Tức là nếu $0<x<1$ thì $f(0)<f(x)<f(1)\Leftrightarrow \lim_{x \to 0^+}\log_2x<f(x)<0\Leftrightarrow \boxed{-\infty<f(x)<0}$.

PT $\Leftrightarrow \sqrt{16.2^{x}-4}+2^x+1  <\sqrt{4^x+18.2^{x}-3} $
$\Leftrightarrow 16.2^{x}-4+4^x+1+2.2^x+2(2^x+1)\sqrt{16.2^{x}-4}  <4^x+18.2^{x}-3$
 $\Leftrightarrow 2(2^x+1)\sqrt{16.2^{x}-4}<0$
 Đây là điều vô lý vì  $2(2^x+1)\sqrt{16.2^{x}-4} \ge 0$.
 Vậy BPT đã cho vô nghiệm.

PT $\Leftrightarrow 2\sqrt{3} \cos^2x+2\sin3x\cos x-\sin4x-\sqrt{3}=\sqrt{3}\sin x+\cos x $
$\Leftrightarrow \sqrt{3} (\cos2x+1)+(\sin 4x +\sin 2x)-\sin4x-\sqrt{3}=\sqrt{3}\sin x+\cos x $
$\Leftrightarrow \sqrt{3}\cos 2x+\sin 2x =\sqrt{3}\sin x+\cos x $
$\Leftrightarrow \sin\left ( 2x+\frac{\pi}{3}\right ) = \sin\left ( x+\frac{\pi}{6}\right ) $
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}2x+\frac{\pi}{3}=x+\frac{\pi}{6}+k2\pi\\2x+\frac{\pi}{3}=\pi-x-\frac{\pi}{6}+k2\pi \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\frac{\pi}{6}+k\frac{2\pi}{3} \end{matrix}} \right.  (k \in \mathbb{Z}).$
Ta cần điều kiện $ \sin\left ( x+\frac{\pi}{6}\right )  \ne 0\Leftrightarrow x \ne -\frac{\pi}{6}+l\pi$.
Vậy  $x=\frac{\pi}{6}+k\frac{2\pi}{3} , (k \in \mathbb{Z}).$

Nếu bạn tính nguyên hàm
$I=\int\limits\frac{x}{(x-1)^2} dx =\int\limits\frac{x-1+1}{(x-1)^2} dx =\int\limits\frac{1}{x-1} dx+\int\limits\frac{1}{(x-1)^2} dx$
 $=\int\limits\frac{d(x-1)}{x-1}+\int\limits\frac{d(x-1)}{(x-1)^2} dx=\ln\left| {x-1} \right|-\frac{1}{x-1}+C$
 Chú ý rằng mẫu số xác định khi $x\ne 1$ nhưng số này lại nằm trong khoảng $[-2,2]$ vì thế tích phân này không hội tụ và nó không nằm trong kiến thức cấp $3$ mà chúng ta thảo luận.