Điều kiện $\cos x \ne 0$.
PT
$\Leftrightarrow \sqrt{3}\tan^{2}x+2\tan x-\sqrt{3}+4\sin x \tan x+4\sqrt{3}\sin x=0$
$\Leftrightarrow (\tan x +\sqrt 3)(\sqrt 3 \tan x-1)+4\sin x(\tan x +\sqrt 3)=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \tan x +\sqrt 3=0\\\sqrt 3 \tan x-1+4\sin x=0  \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=-\frac{\pi}{3}+k\pi\\\sqrt 3 \tan x-1+4\sin x=0  \end{matrix}} \right.$
Để giải PT $\sqrt 3 \tan x-1+4\sin x=0$, ta đặt $t=\tan \frac{x}{2}$ và có
$\sqrt 3 \frac{2t}{1-t^2}-1+4\frac{2t}{1+t^2}=0$
$\Leftrightarrow t^4+(2\sqrt 3 -8)t^3+(8+2\sqrt 3)t-1=0$
PT bậc $4$ này chỉ có một nghiệm đẹp

Điều kiện $x \ge 1/2.$
PT $\Leftrightarrow 4x^{2} +3x+3-4x\sqrt{x+3}-2\sqrt{2x-1}=0$
$\Leftrightarrow 4x^{2} -4x\sqrt{x+3}+(x+3)+(2x-1)-2\sqrt{2x-1}+1=0$
$\Leftrightarrow (2x-\sqrt{x+3})^2+(\sqrt{2x-1}-1)^2=0$
Do $(2x-\sqrt{x+3})^2,(\sqrt{2x-1}-1)^2 \ge 0$ nên ta phải có
$\begin{cases}2x-\sqrt{x+3}=0 \\ \sqrt{2x-1}-1=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}2x-\sqrt{x+3}=0 \\ \sqrt{2x-1}=1 \end{cases}\Leftrightarrow \boxed{x=1}$ (thỏa mãn).

Điều kiện $x \ge 1/2.$
PT
$\Leftrightarrow x^{2}= 2x+2\sqrt{2x-1}$
$\Leftrightarrow x^{2}=( 2x-1)+2\sqrt{2x-1}+1$
$\Leftrightarrow x^{2}=\left ( \sqrt{2x-1}+1 \right )^2$
Do $x \ge 1/2$ nên $x>0, \sqrt{2x-1}+1>0$ ta có
$\Leftrightarrow x= \sqrt{2x-1}+1$
$\Leftrightarrow x-1= \sqrt{2x-1}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}(x-1)^2=2x-1 \\ x \ge 1 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x^2-4x+2=0 \\ x \ge 1 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \boxed{x=2+\sqrt 2} $

Lấy  $a=\min\{a,b,c\}$, $b=a+u$ và  $c=a+v,u,v \ge 0$.
Ta có , $P-\frac{23}{3}=\frac{14(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}+\frac{(ab+bc+ca)(a+b+c)}{a^2b+b^2c+c^2a}-\frac{23}{3}=$
$=\frac{1}{3(a+b+c)^2(a^2b+b^2c+c^2a)}(57(u^2-uv+v^2)a^3+$
$+3(22u^3-18u^2v+9uv^2+22v^3)a^2+(25u^4-11u^3v-18u^2v^2+43uv^3+25v^4)a+$
$+(22u^3-37u^2v+28uv^2+2v^3)uv)\geq0$
Vậy $\min P=\frac{23}{3}$ $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$.