Tổng cần tính tương đương với
$S=\sum_{k=0}^n\frac{C^k_n}{(k+1)(k+2)}$
trước hết bạn dùng định nghĩa của tổ hợp để chứng minh đẳng thức sau
$aC_b^a=bC_{b-1}^{a-1}$
Áp dụng đẳng thức trên ta có
$(k+1)(k+2)C_{n+2}^{k+2}=(k+1)(n+2)C_{n+1}^{k+1}=(n+2)(k+1)C_{n+1}^{k+1}=(n+2)(n+1)C_{n}^{k}$
Suy ra $\frac{C^k_n}{(k+1)(k+2)}=\frac{C_{n+2}^{k+2}}{(n+2)(n+1)}$
Do đó
$S=\sum_{k=0}^n\frac{C_{n+2}^{k+2}}{(n+2)(n+1)}=\frac{1}{(n+2)(n+1)}\left ( \sum_{k=0}^nC_{n+2}^{k+2} \right )=\frac{1}{(n+2)(n+1)}\left ( \sum_{i=0}^{n+2}C_{n+2}^{i}-C_{n+2}^{1}-C_{n+2}^{0} \right )$
$=\frac{1}{(n+2)(n+1)}\left ( 2^{n+2}-n-3 \right )$

d)
Trước hết thấy rằng $x^3+8=(x^2-2x+4)(x+2)$
Ta cần tìm các hệ số $A, B $,C sao cho
$\frac{4x}{x^3 +8}=\frac{Ax+B}{(x^2-2x+4)}+\frac{C}{(x+2)}$
Quy đồng và đồng nhất hai vế ta tìm được đáp số
$\frac{4x}{x^3 +8}=\frac{2(x+2)}{3(x^2-2x+4)}-\frac{2}{3(x+2)}$

c) $\frac{x+2}{x^{4}+4}=\frac{3-x}{4(x^2-2x+2)}+\frac{1+x}{4(x^2+2x+2)}$

b) $\frac{3x}{x^{3}-1}=\frac{1-x}{x^2+x+1}+\frac{1}{x-1}$

a) $\frac{1}{x^{4}+1}=\frac{x+\sqrt{2}}{2\sqrt 2(x^2+\sqrt 2 x+1)}-\frac{x-\sqrt{2}}{2\sqrt 2(x^2-\sqrt 2 x+1)}$

Theo định nghĩa thì cực trị là nghiệm của đạo hàm nên ta có $x_1, x_2$ là các nghiệm của PT
$y'=0\Leftrightarrow x^2-2ax-3a=0$.
Tức là khi thay $x_1, x_2$ vào PT trên thì ta có
$\begin{cases}x_1^2-2ax_1-3a=0 \\x_2^2-2ax_2-3a=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x_1^2=2ax_1+3a \\x_2^2=2ax_2+3a\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x_1^2+2ax_2+9a=2a(x_1+x_2)+12a \\x_2^2+2ax_1+9a=2a(x_1+x_2)+12a\end{cases}$
Mặt khác theo định lý Vi-ét thì $x_1+x_2=2a$.
Tóm lại ta có
$x_1^2+2ax_2+9a=x_2^2+2ax_1+9a=4a^2+12a$.
Kết hợp với giả thiết ta có
      $\frac{4a^2+12a}{a^2}+\frac{a^2}{4a^2+12a}=2$ với $a \ne 0.$
$\Leftrightarrow \frac{4a+12}{a}+\frac{a}{4a+12}=2$
$\Leftrightarrow (4a+12)^2+a^2-2(4a+12)a=0$
$\Leftrightarrow (4a+12-a)^2=0$
$\Leftrightarrow 3a+12=0$
$\Leftrightarrow \boxed{a=-4} .$