Nếu $x=y+d$, ở đây $d{\ge}1$.
Ta có $(x-y)(x^2+xy+y^2)=5xy+67$, suy ra
$d((d+y)^2+(d+y)y+y^2)=5y(d+y)+67$.
Thực hiên khai tiển ta có, $(3d-5)y^2+(3d^2-5d)y+d^3=67$.
Do đó $d{\leq}4$, hoặc $1{\leq}d{\leq}4$.
Thử trực tiếp các giá trị  $d=1, 2,3,4$ ta thu được $d=3$ .
Vậy $y=2, x=5$.

d3) Tương tự như phần 2 với chú ý
$ x=(n+7)/3 $ và $ n \leq x^{2}-3x+2< n+1 $.

d2) $ [x]=n $
do đó  $ n^{2}=3n-2+[3{x}] $ nên  $ 3n-2 \leq n^{2} \leq 3n+1 $.
suy ra $ n=0,1,2,3 $.
Với $ n=0 $ thì  $ [3{x}]=2\Rightarrow 2/3 \leq x <1 $.
Các trường hợp khác bạn xét tương tự.

d1)
$ 2x-6 $ nguyên nên $ 2x $ cũng nguyên.
do đó $ [3x-1]=2x-1+[x]=2x-1+2x-6 $ suy ra $ [x]=2x-6 $ nhưng $ x=n,n+\frac{1}{2} $ dẫn đến  $ x=6,5+\frac{1}{2} $.

c)  Giả sử $x\geq y$.
Ta có $m\leq \sqrt[3]{y^3+x}\leq \sqrt[3]{x^3+y}<m+1 $,  $m\in \mathbb{N}$
$\rightarrow m^3\leq y^3+x\leq x^3+y<(m+1)^3$.
Do đó $m\leq x< m+1\rightarrow x=m$, $m\leq y<m+1\rightarrow y=m$.
PT có nghiệm  $x=y\in \mathbb{N}$.

b) Ta có   $p(p-1)=(q+1)(q^2-q+1)$ nên $p|q+1\implies q\geq(p-1)\geq (q^2-q+1)$.
Ta phải có $q^2-q+1=pt,p-1=(q+1)t\implies (q+1)t^2+t=q^2-q+1$
Dễ thấy  $t^2\leq q-2$. Đặt  $t^2=(q-r)\implies 0\geq q(r-3)+2r+1\implies r\leq 2$.
Do đó  $t^2=q-2\implies q=11,p=37$.

Bạn xem tại đây nhé
http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/114292/em-dang-hoc-loai-nay-co-may-bai-nho-den-moi-nguoi

d) http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/113856/tinh-tich-phan

g)
$2+\sin x-2\cos x=2(1-\cos x)+\sin x=2\cdot 2\sin ^ 2 \frac {x}{2}+2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$,

$ \int \frac{dx}{2+\sin x-2\cos x} $

$=\int \frac{1}{2\sin \frac{x}{2}\left(2\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)}\ dx$

$=\int \frac{1}{2\tan \frac{x}{2}\left(2\tan \frac{x}{2}+1\right)}\left(2\tan \frac{x}{2}\right)'dx$

$=\int \left(\frac{1}{2\tan \frac{x}{2}}-\frac{1}{2\tan \frac{x}{2}+1}\right)\left(2\tan \frac{x}{2}\right)'dx$

$=\ln \left|\frac{\tan \frac{x}{2}}{\tan \frac{x}{2}+\frac 12}\right|+C.$

f) http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/111756/tich-phan

e )
http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/113132/tinh-tich-phan