Áp dụng BĐT Cô-si cho tích phân dạng
$\left ( \int\limits_{a}^{b} f(x).g(x)dx \right )^2 \le \int\limits_{a}^{b} f^2(x)dx.\int\limits_{a}^{b} g^2(x)dx$
dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \exists t \in \mathbb{R} |  tf(x)=g(x)$
Ta có
$(b-a)^2=\left ( \int\limits_{a}^{b} \sqrt{f(x)}.\frac{1}{ \sqrt{f(x)}}dx \right )^2 \le \int\limits_{a}^{b} f(x)dx.\int\limits_{a}^{b} \frac{1}{ f(x)}dx$
Do $f$ không phải là hàm hằng nên $\nexists t \in \mathbb{R} |  tf(x)= \frac{1}{ f(x)}$. Như vật dấu đẳng thức không xảy ra và ta có đpcm.

$I=\int\limits_{1}^{e}\frac{dx}{x\sqrt{4-\ln^2x}} =\int\limits_{1}^{e}\frac{1}{\sqrt{1-\left ( \frac{\ln x}{2} \right )^2}}.\frac{1}{2}.\frac{dx}{x} =\int\limits_{1}^{e}\frac{1}{\sqrt{1-\left ( \frac{\ln x}{2} \right )^2}}.d\left (  \frac{\ln x}{2} \right ) $
 $=\arcsin \left (  \frac{\ln x}{2} \right )\left | \right._1^e=\frac{\pi}{6}$

Bài tập này là bài tập số $24$, sách bài tập Hình Học nâng cao $12$. Trong đó có hướng dẫn giải chi tiết, bạn tham khảo ở đó nhé.

$C^n_{(2n+k)}.C^n_{(2n-k)}=\frac{(2n+k)!}{n!(n+k)!}.\frac{(2n-k)!}{n!(n-k)!}=\frac{1}{(n!)^2}.(n+k+1)\cdots(2n+k).(n-k+1)\cdots(2n-k)$
Ta có
$(x+k+1)(x-k+1) \le \left ( \frac{x+k+1+x-k+1}{2} \right )^2=(x+1)^2$
Cho $x=n,n+1,\cdots,2n-1$ ta được
$(n+k+1)\cdots(2n+k).(n-k+1)\cdots(2n-k) \le (n+1)^2\cdots(2n)^2 \le (2n)!^2$
Tóm lại
$C^n_{(2n+k)}.C^n_{(2n-k)} \le \frac{1}{(n!)^2}.(2n)!^2=(C^n_{2n})^2$

Bài này đã được thảo luận tại đây
http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/113762/giup-minh-may-bai-so-phuc-nay-voi

Không có một công thức cụ thể sơ cấp nào biểu diễn được chính xác nghiệm của phương trình siêu việt trên. Dưới đây là những tìm ra của mình.
Nhận thấy $x=0$ là một nghiệm của PT. Với $x \ne 0$ thì
PT $\Leftrightarrow \arcsin x^2 + \frac{2\sqrt{1-x^2}\arcsin x}{x} - 2=0$
Đặt $f(x)= \arcsin x^2 + \frac{2\sqrt{1-x^2}\arcsin x}{x} - 2$
Ta thấy rằng $f(x)=f(-x)$ nên $f$ là hàm chẵn và đồ thị của nó đối xứng nhau qua $Oy$.
Kiểm tra rằng $f'(x)=0$ có tối đa hai nghiệm khác $0$ nên $f(x)=0$ có tối đa hai nghiệm.
Và nếu muốn có một cách để tính xấp xỉ nghiệm đúng đến nhiều chữ số sau dấu phẩy trong biểu diễn thập phân. Ta có thể sử dụng phương pháp Newton-Raphson http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method như sau
$f(x)= \arcsin x^2 + \frac{2\sqrt{1-x^2}\arcsin x}{x} - 2$
Ta thu được công thức truy hồi
$x_{n+1}=x_n−\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}     (n \in \mathbb{N})$
Từ đó.
Trong đó ta xuất phát từ $x_0=\pm 1$,  và cho $n$ đủ lớn và ta tính được nghiệm gần đúng $x \approx \pm0, 90303214$.