Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

a, Đặt $t = x+\frac{\pi }{2}.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to -\frac{\pi }{2}}\frac{\cos x}{x+\frac{\pi }{2}}=\mathop {\lim }\limits_{t \to 0}\frac{\cos \left ( t-\frac{\pi }{2} \right )}{t}=\mathop {\lim }\limits_{t \to 0}\frac{\sin t}{t}=1$

1. Ta có $f'(x) =3x^2+6x-9=3(x+1)^2-12 \ge -12$.
Suy ra $\min f'(x)=-12\Leftrightarrow x=-1\Rightarrow y=6$.
Như vậy tiếp tuyến tại $U(-1,6)$ có hệ số góc nhỏ nhất. PTTT : $y=-12(x+1)+6$.

$y=2(\sin^4 x+\cos^4 x+\sin^2 x\cos^2 x)^2-(\sin^8 x+\cos^8 x)$
$y=2(\sin^4 x+\cos^4 x)^2+4\sin^2 x\cos^2 x(\sin^4 x+\cos^4 x)+2\sin^4 x\cos^4 x-(\sin^4 x+\cos^4 x)^2+2\sin^4 x\cos^4 x$
$y=(\sin^4 x+\cos^4 x)^2+4\sin^2 x\cos^2 x(\sin^4 x+\cos^4 x)+4\sin^4 x\cos^4 x$
$y=(\sin^4 x+\cos^4 x+2\sin^2 x\cos^2 x)^2$
$y=(\sin^2 x+\cos^2 x)^4$
$y=1$
$\Rightarrow y'=0.$

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
$\frac{a^2}{b}+b \ge 2a$
$\frac{b^2}{c}+4c \ge 4b$
$\frac{4c^2}{a}+a \ge 4c$
Cộng theo từng vế ba BĐT này thì ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=2c.$

Giả sử $z=a+bi, a,b \in \mathbb R\Rightarrow a^2+b^2=5.$ Ta có
$\left| {iz + \overline{z}-2} \right|=\left| {ai-b +a-bi-2} \right|=\left| {(a-b)i+a-b-2} \right|=\sqrt{(a-b)^2+(a-b-2)^2.}$
Ta có $(a-b)^2+(a-b-2)^2=2(a-b)^2-4(a-b)+4=2\left[ {a-b+1} \right]^2+2 \ge 2$.
Do vậy
$\Leftrightarrow \begin{cases}a^2+b^2=5 \\ a-b=-1 \end{cases}\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} a=-2,b=-1\\a=1,b=2 \end{matrix}} \right.$

Đặt  $\{a,b,c\}=\{x^2,y^2,z^2\}$, và giả sử trong trường hợp $x \ge y \ge z>0$. Ta có, $x^2+y^2+z^2=3$.
Khi đó
$A=a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}-\sqrt{abc}=\sqrt{a}\sqrt{ab}+\sqrt{b}\sqrt{bc}+\sqrt{c}\sqrt{ca}-\sqrt{abc}$
$=x.xy+y.yz+z.zx-xyz\leq x\cdot xy+y\cdot xz+z\cdot yz-xyz=y(x^2+z^2)=y(3-y^2)$.
Ta có
$y^2(3-y^2)^2=\dfrac{1}{2}.2y^2.(3-y^2).(3-y^2) \le \dfrac{1}{2}.\left ( \dfrac{2y^2+(3-y^2)+(3-y^2)}{3} \right )^3=4$
Vậy $\max A =2 \Leftrightarrow a=b=c=1.$
Với trường hợp $x \ge z \ge y>0$ tương tự có
$A= a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}-\sqrt{abc}=\sqrt{a}\sqrt{ab}+\sqrt{b}\sqrt{bc}+\sqrt{c}\sqrt{ca}-\sqrt{abc}\leq $
$ \leq x\cdot xz+z\cdot xy+y\cdot yz-xyz=z(x^2+y^2)=z(3-z^2)\leq2 $.
Bài toán được chứng minh trọn vẹn.

2. Trước hết em xem định lý hàm số $\cot$ ở đây

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/111290/bai-111283

$\frac{\tan A}{\tan B}=\frac{\cot B}{\cot A}=\frac{a^2+c^2-b^2}{b^2+c^2-a^2}$.

1. $\sin^4 x-\sin^4 (\frac{\pi}{2}-x)=\sin^4 x-\cos^4x=(\sin^2x-\cos^2x)(\sin^2x+\cos^2x)=\sin^2x-\cos^2x=2\sin^2x-1$.

Câu này thực sự là câu hỏi rất rộng và thiên về mặt kinh nghiệm. Riêng về bản thân anh thì anh khuyên em trước hết em nên có một tài liệu gì đó, giấy, bản điện tử, sách giao khoa, tự soạn... miễn sao có đầy đủ tất cả các công thức lượng giác cần thiết. Ví dụ em có thể tham khảo ngạy tại trang của mình

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Ly-Thuyet/113025/cac-cong-thuc-luong-giac

Tại thư viện này em có còn thể gõ từ khóa "Công thức lượng giác" vào phần tìm kiếm, sẽ thu được rất nhiều kết quả có liên quan. Làm thêm bài tập cũng là cách rất tốt để nhớ các công thức. Ngoài ra còn có thể học tủ vài công thức để có thể đọc được vanh vách và biết được cách sử dụng của nó, lúc đó ta sẽ thấy tự tin hơn ngay cả với bạn bè và những bài kiểm tra. Học lượng giác và học Toán nói chung không có cách nào khác là phải thực hành, kiên trì luyện tập và sử dụng nó mỗi ngày thì mới có thể nhớ lâu được.

a. $\frac{\cos2x -\sin4x -\cos6x}{\cos2x + \sin4x -\cos6x}=\frac{2\sin 4x\sin 2x-\sin 4x}{2\sin 4x\sin 2x+\sin 4x}=\frac{2\sin 2x-1}{2\sin 2x+1}$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Em có thể xem thêm ở đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/113295/phuong-phap-dat-an-phu-de-giai-phuong-trinh-co-hai-phep-toan-nguoc-nhau

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết