a) Ta cần tìm $x_0$ sao cho $f'(x_0)=-5\Leftrightarrow \dfrac{-5}{(x_0-2)^2}=-5\Leftrightarrow x_0=3$ hoặc $x_0=1.$
Ta có hai PTTT
$(t_1) : y=-5(x-3)+y(3) \Leftrightarrow y=-5(x-3)+7$
$(t_2) : y=-5(x-1)+y(1) \Leftrightarrow y=-5(x-3)-3$

Để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt thì PT tương giao sau có hai nghiệm phân biệt
$\dfrac{2x+3}{x-2}=2x+m\Leftrightarrow 2x^2+x(m-6)-(2m+3)=0 \quad (1)$
Ta cần có $\Delta > 0\Leftrightarrow (m-6)^2+8(2m+3) > 0$, điều này đúng với mọi m.
Gọi $x_1\ne x_2$ là hai nghiệm của PT (1). Để hai tiếp tuyến tại hay điểm này song song với nhau
$\Leftrightarrow y'(x_1)=y'(x_2)\Leftrightarrow \dfrac{-7}{(x_1-2)^2}=\dfrac{-7}{(x_2-2)^2} \Leftrightarrow (x_1-2)^2=(x_2-2)^2$ $\Leftrightarrow x_1-2=2-x_2 \Leftrightarrow x_1+x_2=4 \underbrace{\Leftrightarrow }_{Vi-et} \dfrac{6-m}{2}=4\Leftrightarrow m=-2$

$\mathop {\lim }\limits\frac{1+2+2^2+...+2^n}{1+3+3^2+...+3^n}=\mathop {\lim }\limits\frac{\dfrac{2^{n+1}-1}{2-1}}{\dfrac{3^{n+1}-1}{3-1}}=2.\mathop {\lim }\limits\dfrac{2^{n+1}-1}{3^{n+1}-1}=2.\mathop {\lim }\limits\frac{\left (\dfrac{2}{3} \right )^{n+1}-\dfrac{1}{3^{n+1}}}{1-\dfrac{1}{3^{n+1}}}=2.0=0$

$\mathop {\lim }\limits\left(\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+1}+...+\frac{n-1}{n^2+1}\right)=\mathop {\lim }\limits\frac{1+2+...+(n-1)}{n^2+1}$
$=\mathop {\lim }\limits\frac{(n-1)n}{2(n^2+1)}=\dfrac{1}{2}$.

Dạng này là đặc trưng cho bởi phương pháp sau đây
    $xy(x-y)+yz(y-z)+xz(z-x)$
$=xy(x-y)+yz(y-x+x-z)+xz(z-x)$
$=xy(x-y)-yz(x-y)-yz(z-x)+xz(z-x)$
$=y(x-y)(x-z)+z(z-x)(x-y)$
$=(x-y)(y-z)(z-x)$
Các bài sau anh nghĩ em có thể làm tương tự.

a. Ta biết rằng với mọi $x$ thì $\tan x. \cot x =1$. Do đó
      $\tan 2\alpha .\cot 2\alpha = \tan 3\beta . \cot 3\beta $
$\Rightarrow \tan 2\alpha .\cot 2\alpha +\tan 2\alpha\tan 3\beta= \tan 3\beta . \cot 3\beta+\tan 2\alpha\tan 3\beta$
$\Rightarrow \tan 2\alpha .(\cot 2\alpha +\tan 3\beta)= \tan 3\beta . (\cot 3\beta+\tan 2\alpha)$
$\Rightarrow$ đpcm.

Theo một cách truyền thống, đặt $CD = l_c, BC=a, AC=b,AB=c$ và nửa chu vu là $p$.
Bạn xem ở đây để có được công thức đường phân giác

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/114599/chung-minh-ho-em-voi
$l_c=\dfrac{2}{a+b}\sqrt{abp(p-c)}$.
$\Rightarrow l_c^2 = \dfrac{4}{(a+b)^2}abp(p-c) \le \dfrac{ab}{(a+b)^2}(p+p-c)^2=\dfrac{ab}{(a+b)^2}(a+b)^2=ab$.
Suy ra $l_c \le ab, $đpcm.
Dễ lý luận dấu đẳng thức không xảy ra vì $p \ne p-c.$

$L=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^-}\left(x(1+x+x^2+...+x^{n-1})-\dfrac{n}{1-x} \right)$
$L=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^-}\left(x\dfrac{1-x^n}{1-x}-\dfrac{n}{1-x} \right)$
$L=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^-}\dfrac{x-x^{n+1}-n}{1-x}=-\infty.$

Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất chính là đường thẳng $y=x.$
Đường thẳng này có hệ số góc $k=1$, nên ta cần tìm $x_0$ sao cho $y'(x_0)=k=1$
$\Leftrightarrow 3x_0^2+6x_0-8=1\Leftrightarrow x_0=-3$ hoặc $x_0=1.$
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn
$(t_1) : y=1(x-1)+y(1)\Leftrightarrow y=x-4$
$(t_2) : y=1(x+3)+y(-3)\Leftrightarrow y=x+28$

b. Ta thấy rằng $x=0$ là điểm gián đoạn duy nhất của hàm số trên. Theo câu a thì khi $a=\dfrac{1}{2}$ thì hàm này liên tục tại $x=0$ nên suy ra nó sẽ liên tục tại mọi điểm thuộc tập giá trị của nó là $\left[-\dfrac{1}{3};+\infty\right)$.

a).
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{1+3x}-1}{3x}=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\dfrac{1}{\sqrt{1+3x}+1}=\dfrac{1}{2}$
$f(0)=a$.
Vậy $a=\dfrac{1}{2}.$

Đặt $t=-x$. Ta có
$L=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-}\dfrac{x-\sqrt{-x}}{\sqrt{\left(-x\right)^3}}=\mathop {\lim }\limits_{t \to 0^+}\dfrac{-t-\sqrt{t}}{\sqrt{t^3}}=\mathop {\lim }\limits_{t \to 0^+}\left ( -\dfrac{1}{\sqrt{t}}-\dfrac{1}{t} \right )=-\infty.$

a.
$\dfrac{2\sin a-\sin 2a}{2\sin a+\sin 2a}=\dfrac{2\sin a(1-\cos a)}{2\sin a(1+\cos a)}=\dfrac{2\sin^2\dfrac{a}{2}}{2\cos^2\dfrac{a}{2}}=\tan^2\dfrac{a}{2}$.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

a, Áp dụng $\sin a= \sin (180-a)$ và $\sin 180 =0, \sin 90 =1$ nên ta có
$A = 2(\sin^2 10 + \sin^2 20 +\ldots +\sin^280 ) +1$
Áp dụng tiếp $\sin a= \cos (180-a)$ ta có
$A=2(\sin^2 10+\sin^2 80)+\ldots+2(\sin^2 40+\sin^2 50)+1$
$A=2(\sin^2 10+\cos^2 10)+\ldots+2(\sin^2 40+\cos^2 40)+1=9$