Dễ thấy $\lim 2n^2=\lim 3^n=+\infty$ do đó $\lim u_n=+\infty.$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Ta có $y=\sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$
Như vậy bài toán quy về tìm đạo hàm cấp cao của $\cos 2x$. Em xem dạng tổng quát ở đây cho $\cos x$ và làm tương tự
http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/113568/dao-ham-cap-cao

$\lim U_{n} =\lim \sqrt{4n-1}-\sqrt{n+2}=\lim \sqrt n . \left ( \sqrt{4-\dfrac{1}{\sqrt n}}-\sqrt{1+\dfrac{2}{\sqrt n}} \right ) =+\infty.(2-1)=+\infty.$

$\lim U_{n} = \lim\dfrac{2n^{3} - n-3}{4n-3}= \lim\dfrac{2n^{2} - 1-\dfrac{3}{n}}{4-\dfrac{3}{n}}=+\infty.$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

PT   $\Leftrightarrow 4\sin^2 3x\sin^2x=5+\sin3x$.
Ta dễ thấy $\sin^2 3x, \sin^2x \le 1 \quad \forall x\Rightarrow 4\sin^2 3x\sin^2x \le 4$
và $\sin 3x \ge -1 \quad \forall x \Rightarrow 5+\sin 3x \ge 4.$
Vậy $ 4\sin^2 3x\sin^2x=5+\sin3x\Leftrightarrow 4\sin^2 3x\sin^2x=5+\sin3x=4\Leftrightarrow \begin{cases}\sin^2 3x\sin^2x=1 \\ \sin 3x =-1 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\sin x=\pm 1 \\ \sin 3x=-1 \end{cases}$.
Đến đây không khó để giải tiếp.

Đặt $\sqrt{\dfrac{4x+9}{28}}=y+\dfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{4x+9}{28}=y^2+y+\dfrac{1}{4}\Rightarrow 14y^2+14y-2x-1=0$.
Mạt khác ta có $7x^2+7x=y+\dfrac{1}{2}\Rightarrow 14x^2+14x-2y-1=0$.
Từ đây thu được hệ đối xứng
$\begin{cases}14y^2+14y-2x-1=0 \\ 14x^2+14x-2y-1=0 \end{cases}$
Không khó để giải tiếp. Để xem chi tiết kỹ thuật này bạn xem tại

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/113295/phuong-phap-dat-an-phu-de-giai-phuong-trinh-co-hai-phep-toan-nguoc-nhau

9a. Đặt $f(x) =\sqrt{x^3+6x+1}-2$. Thì ta có $f$ là hàm liên tục trên $x\ge0$. Ta chỉ cần điều kiện $x\ge 0$ để giải quyết bài toán này vì nghiệm cần chứng minh là nghiệm dương.
Ta có $f(0)=-1<0, f(1)=2\sqrt 2 -2 >0\Rightarrow f(0).f(1)<0$ nên PT $f(x)=0$ có nghiệm trong $(0,1)$, đpcm.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Em xem ở đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/100593/bai-100592

1. Đặt $y= \sqrt[3]{2x-1}\Rightarrow y^3=2x-1.$
Mặt khác từ PT ta cũng có $x^3+1=2y\Rightarrow x^3=2y-1$. Ta thu được hệ
$\begin{cases}y^3=2x-1\\ x^3=2y-1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}y^3=2x-1\\ x^3-y^3=2y-2x \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}y^3=2x-1\\ (x-y)(x^2+xy+y^2+2)=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x^3=2x-1 \\ x=y \end{cases}$
Có được điều này là vì $x^2+xy+y^2+2=(x+y/2)^2+3y^2/4+2 > 0 \quad \forall x,y.$
Giải PT $x^3=2x-1\Leftrightarrow x^3-2x+1=0\Leftrightarrow x \in \left\{ {1, \dfrac{-1\pm\sqrt 5}{2}} \right\}$.
vậy $(x,y)=(1,1),\left ( \dfrac{-1\pm\sqrt 5}{2},\dfrac{-1\pm\sqrt 5}{2} \right ).$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết