(SAB), (SAD) vuông góc với (ABCD)=> SA vuông góc với (ABCD)
Khi đó ta đồng nhất được hệ trục tọa độ với hình sao cho A trùng O, AB trùng Ox, AD trùng Oy, AS trùng Oz
=> A( 0,0,0), B(a, 0, 0), C (a, a,0), D( 0,a,0), S(0,0,a)
$\overrightarrow{SD}$= (0,a,-a), $\overrightarrow{SC}$=(a, a, -a) =>
$\left[ {\overrightarrow{SD}\times \overrightarrow{SC}} \right]$= (0,
-$a^{2}$, -$a^{2}$)= (0,1,1) => phương trình mp(SDC): y+ z=0
$\overrightarrow{AB}$= (a,0,0), $\overrightarrow{DA}$=(0, a, 0) =>
$\left[ {\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{DA}} \right]$= (
-a, -a, $a^{2}$)= (-1, -1,a) => phương trình mp(ABCD): -x-y+ az=0
$\overrightarrow{AS}$= (0,0,a), $\overrightarrow{AD}$=(0, a,0) =>
$\left[ {\overrightarrow{ÁS}\times \overrightarrow{AD}} \right]$= (
-$a^{2}$, a, 0)= (-a,1,0) => phương trình mp(SAD): -ax+y=0
$\overrightarrow{AS}$= (0,0,a), $\overrightarrow{AB}$=(a, 0,0) =>
$\left[ {\overrightarrow{AS}\times \overrightarrow{AB}} \right]$= (-a, $a^{2}$, -a)= (-1,a, -1) => phương trình mp(SAB): -x+ay- z=0
$\overrightarrow{SB}$= (a,0,-a), $\overrightarrow{SC}$=(a, a, -a) =>
$\left[ {\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SC}} \right]$= (a^2, 0, $a^{2}$)= (1,0,1) => phương trình mp(SBC): y+ z-a=0
Gọi I( $x_{0}$, $y_{0}$, $z_{0}$) là tâm hình cầu nội tiếp hình chópKhoảng cách d(I, (SDC)) = $\frac{y_{0}+z_{0}}{\sqrt{2}}$Khoảng cách d(I, (ABCD))=$\frac{-x_{0}-y_{0}+az_{0}}{\sqrt{2+a^{2}}}$Khoảng cách d( I, (SAD))= $\frac{-ax_{0}+y_{0}}{\sqrt{a^{2}+1}}$
Khoảng cách d(I, ( SAB))= $\frac{-x_{0}+ay_{0}-z_{0}}{\sqrt{a^{2}+2}}$
Khoảng cách d(I, (SBC))= $\frac{x_{0}+z_{0}-a}{\sqrt{a^{2}+2}}$
Xét d(I, (SAB))= d(I, (ABCD))
=> -$y_{0}+az_{0}= ay_{0}- z_{0}$
=> $ay_{0}-az_{0}= z_{0}-y_{0}$
=> a($y_{0}-z_{0)= z_{0}-y_{0}}$
=> a= (-1)
Thay a=(-1), xét d(I, (SDC))= d(I, (SAD))
=> $\frac{y_{0}+z_{0}}{\sqrt{2}}$= $\frac{x_{0}+y_{0}}{\sqrt{2}}$
=> $x_{0}=z_{0}$
Thay a=(-1), $x_{0}=z_{0}$, xét d(I, (SBC))= d( I, (SAB))
=> 4$x_{0}+y_{0}+1$=0
Thay các kết quả tìm được ở trên, xét d( I, (SDC))= d( I, (SAB))
=> $\frac{-1-3x_{0}}{\sqrt{2}}$= $\frac{2x_{0}+1}{\sqrt{3}}$
=> $x_{0}$= -1
Từ đó suy ra: $y_{0}=3; z_{0}= -1$
Vậy bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp là: R= d (I, (SDC))=$\frac{y_{0}+z_{0}}{\sqrt{2}}$ = $\frac{3+ (-1)}{\sqrt{2}}$= $\sqrt{2}$