Áp dụng bất đẳng thức $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{8}{(a+b)^2},$ ta có:
$\mathbb P=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(\frac{y}{2}+2)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}\geq \frac{8}{(x+\frac{y}{2}+3)^3}+\frac{8}{(z+3)^2} $
$\geq \frac{64}{(x+\frac{y}{2}+z+5)}$ $(1)$
Áp dụng bất đẳng thức $AM - GM,$ ta có:
$3y+6\geq (x^2+1)+(y^2+4)+(z+1)^2\geq 2x+4y+2z\Leftrightarrow 3\geq x+\frac{y}{2}+z.$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có GTNN của $\mathbb P $ là $1.$
Đẳng thức xảy ra khi $x=z=1;y=2.$