Điều kiện xác định: $x \ge -1.$
Đặt $a=\sqrt{2x+3};b=\sqrt{x+1},(a>0;b \ge 0)$ ta có:
$\begin{cases}a^2-b^2=x+2 \\ a^2-2b^2=1 \end{cases}$
Do đó, bất phương trình đã cho tương đương với:
$(a^2-b^2)(a-2b)+ab \ge a^2-2b^2$
$\Leftrightarrow (a^2-b^2)(a-2b)-(a^2-ab-2b^2) \ge 0$
$\Leftrightarrow (a+b)(a-b)(a-2b)-(a+b)(a-2b) \ge 0$
$\Leftrightarrow (a+b)(a-2b)(a-b-1) \ge 0.$
$\Leftrightarrow (a-2b)(a-b-1) \ge 0.$ (vì $a>0;b \ge 0$ nên $a+b>0$)
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases}a \ge 2b \\ a \ge b+1 \end{cases}\\ \begin{cases}a \le 2b \\ a \le b+1 \end{cases} \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases}\sqrt{2x+3} \ge 2\sqrt{x+1} \\ \sqrt{2x+3} \ge \sqrt{x+1}+1 \end{cases}\\ \begin{cases}\sqrt{2x+3} \le 2\sqrt{x+1} \\ \sqrt{2x+3} \le \sqrt{x+1}+1 \end{cases} \end{array} \right.$
Tới đây chắc bạn tự giải sẽ hay hơn....