|
|
bình luận
|
bdt hay
nghe đồn là bài này dùng yếu tố ít nhất gì đấy
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
vừa chế thử 1 câu bdt :))
|
|
|
|
Cho $x,y,z \ne 1$ thỏa mãn $xyz+x+y+z=xy+yz+zx+2$ . Chứng minh BDT : $$\frac x{x^2-x+1}+\frac{y}{y^2-y+1}+\frac{z}{z^2-z+1} \le 2$$ |
|
|
|
bình luận
|
Đề siêu ngắn gọn
a sửa rồi đó, chỉ nhầm cái dấu mà ko nhận ra à -_-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sửa đổi
|
Đề siêu ngắn gọn
|
|
|
|
$\frac 1a+\frac 2b+\frac 3c \overset{AM-GM}{\ge} \frac 6{\sqrt[6]{ab^2c^3}}$$\Leftrightarrow \sqrt[6]{ab^2c^3} \ge \frac{6}{\dfrac 1a+\dfrac 2b+\dfrac 3c}$ (1)Lại có $\frac 1a+\frac 2b+\frac 3c = \left( \frac 1a-1 \right) + \left( \frac 2b -2\right)+\left( \frac 3c-3 \right)+6$$=\frac{1-a}{a}+\frac{2(1-b)}{b}+\frac{3(1-c)}{c}+6 \le \frac{1-a}{a}+\frac{2(1-b)}{a}+\frac{3(1-c)}{a}+6$$=\frac{6-(a+2b+3c)}{a}+6 \le \frac{6-2(a+b+c)}{a}+6$$=\frac{6-2\sqrt{(a+b+c)(\frac 1a+\frac 1b+\frac 1c)}}{a}+6 \le \frac{6-2.\sqrt 9}{a}+6=6$ (2)~~~~~~~~~~Từ (1) & (2) $\Rightarrow \sqrt[6]{ab^2c^3} \le 1\Rightarrow P \le 1$Vậy $\min P=1\Leftrightarrow a=b=c=1$
$\frac 1a+\frac 2b+\frac 3c \overset{AM-GM}{\ge} \frac 6{\sqrt[6]{ab^2c^3}}$$\Leftrightarrow \sqrt[6]{ab^2c^3} \ge \frac{6}{\dfrac 1a+\dfrac 2b+\dfrac 3c}$ (1)Lại có $\frac 1a+\frac 2b+\frac 3c = \left( \frac 1a-1 \right) + \left( \frac 2b -2\right)+\left( \frac 3c-3 \right)+6$$=\frac{1-a}{a}+\frac{2(1-b)}{b}+\frac{3(1-c)}{c}+6 \le \frac{1-a}{a}+\frac{2(1-b)}{a}+\frac{3(1-c)}{a}+6$$=\frac{6-(a+2b+3c)}{a}+6 \le \frac{6-2(a+b+c)}{a}+6$$=\frac{6-2\sqrt{(a+b+c)(\frac 1a+\frac 1b+\frac 1c)}}{a}+6 \le \frac{6-2.\sqrt 9}{a}+6=6$ (2)~~~~~~~~~~Từ (1) & (2) $\Rightarrow \sqrt[6]{ab^2c^3} \ge 1\Rightarrow P \ge 1$Vậy $\min P=1\Leftrightarrow a=b=c=1$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bình luận
|
TEST Thẻ
ủa thẻ này anh tạo đc hả
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sửa đổi
|
Cho $a,b,c$ là các số thực dương có tích bằng 1. Cm:
|
|
|
|
Cách 2: (Vận dụng hàm số)Xét hàm số: $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ trên khoảng $(0;+∞).$ Ta có:$f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{x^3}},f"(x)=\frac{3}{4}.\frac{1}{\sqrt{x^5}}>0\forall x>0.$$\rightarrow $ đồ thị h/s $f(x)$ lõm trên $(0;+∞)$Sử dụng BĐT Jensen ta được: $\Sigma \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}=\Sigma a.f(a^2+8bc)\geq (a+b+c).f[\frac{\Sigma a(a^2+8bc)}{a+b+c}]=(a+b+c).f(\frac{a^3+b^3+c^3+24abc}{a+b+c})=\frac{a+b+c}{\sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3+24abc}{a+b+c}}}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)}{a+b+c}}}=\frac{a+b+c}{\sqrt{(a+b+c)^2}}=1$Đến đây thì ok r!!
Cách 2: (Vận dụng hàm số)Xét hàm số: $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ Ta có:$f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{x^3}},f"(x)=\frac{3}{4}.\frac{1}{\sqrt{x^5}}>0\forall x>0.$$\rightarrow $ đồ thị h/s $f(x)$ lõm trên $(0;+\infty)$Sử dụng BĐT Jensen ta được: $\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}=\sum a.f(a^2+8bc)\geq (a+b+c).f[\frac{\sum a(a^2+8bc)}{a+b+c}]=(a+b+c).f\left(\frac{a^3+b^3+c^3+24abc}{a+b+c}\right)=\frac{a+b+c}{\sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3+24abc}{a+b+c}}}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)}{a+b+c}}}=\frac{a+b+c}{\sqrt{(a+b+c)^2}}=1$Đến đây thì ok r!!
|
|
|
|
|
|