|
|
|
|
giải đáp
|
giải bất phương trình
|
|
|
|
Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết
|
|
|
|
giải đáp
|
Giải cho vui .
|
|
|
|
2. Đk $x \ge 1$ $bpt\Leftrightarrow (x^3-3x^2+2x)-(x^2-3x+2) \ge(\sqrt{3x-2}-x)+4(\sqrt{x-1}+1-x)$ (*) Với $x=1$ thì (*) đúng Với $x \ne1$ (*)$\Leftrightarrow (x-1)^2(x-2) +\frac{(x-1)(x-2)}{\sqrt{3x-2}+x}+4.\frac{(x-1)(x-2)}{x-1+\sqrt{x-1}} \ge0$ $\Leftrightarrow(x-1)(x-2)\Bigg(x-1+\frac{1}{\sqrt{3x-2}+x}+\frac{4}{x-1+\sqrt{x-1}} \Bigg) \ge0$ $\Leftrightarrow x \ge 2$ Nghiệm : $x \in \{1\} \cup [2;+\infty)$ |
|
|
|
đặt câu hỏi
|
(7)
|
|
|
|
Cho $x,y,z>0$ thõa mản $x+y+z=3$. Chứng minh : $$P=\frac{1}{x+x^8}+\frac{1}{y+y^8}+\frac{1}{z+z^8} \ge \frac 32$$ |
|
|
|
giải đáp
|
Cho $\begin{cases}a, b, c>0 \\ a+b+c=1 \end{cases}$
|
|
|
|
Ta sẽ chứng minh $T \le9$ $\Leftrightarrow \sum\frac{4}{a+b} \le9+\sum\frac{1}{a}$ $\Leftrightarrow \frac{4\biggl[(a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b) \biggr]}{(a+b)(b+c)(c+a)} \le 9+\frac{ab+bc+ca}{abc}$ $\Leftrightarrow \frac{4\bigg[a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca) \bigg]}{(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc} \le \frac{9abc+ab+bc+ca}{abc}$ $\Leftrightarrow \frac{1+ab+bc+ca}{ab+bc+ca-abc} \le \frac 14 \Bigg[ \frac{9abc+ab+bc+ca}{abc} \Biggr]$ $\Leftrightarrow 4abc(ab+bc+ca) +(ab+bc+ca)^2 \ge 4abc+9a^2b^2c^2$ $\bullet$Ta có $abc(ab+bc+ca)=abc(ab+bc+ca)(a+b+c) \ge abc.3\sqrt{(abc)^2}.3\sqrt{abc}=9(abc)^2$ Nên chỉ cần cm $3abc(ab+bc+ca)+(ab+bc+ca)^2 \ge 4abc$ $\Leftrightarrow (ab+bc+ca)^2-3abc(a+b+c) \ge abc\big[(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca) \big]$ $\Leftrightarrow c(a-b)^2+a(b-c)^2+b(c-a)^2 \ge \frac 12abc \left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \right]$ $\Leftrightarrow \sum \Bigg[ c(a-b)^2 \left( 1-\frac{ab}2\right) \Bigg] \ge0$ Dễ thấy bdt cuối luôn đúng $\Rightarrow \max T=9\Leftrightarrow a=b=c=\frac 13$ |
|
|
|
giải đáp
|
Làm nhanh giúp e nha
|
|
|
|
Áp dụng bdt phụ $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2} \ge \frac{2}{1+ab}$ Với $a,b>0;ab \ge 1$ Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=b\\ ab=1 \end{array} \right.$ |
|
|
|
giải đáp
|
Giúp e đi !!!! Làm ơn
|
|
|
|
Giả thiết $\Leftrightarrow x^2+\left( \frac{\sqrt 3}{2}y\right)^2+\left( \frac{\sqrt 3}{2}z\right)^2+2.\left( x. \frac{\sqrt 3}{2}y.\frac{\sqrt 3}{2}z\right)=1\quad (\star)$ Đặt $x=a,\frac{\sqrt 3}{2}y=b,\frac{\sqrt 3}{2}z=c$ $(\star)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc=1$ Ta cần chứng minh $a+b+c \le \frac 32$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ Trước tiên ta cm $ab+bc+ca\le \frac 12+2abc \quad $ Ta lại có $\frac 12+2abc \le \frac 58+abc$ $\Rightarrow ab+bc+ca \le \frac 58+abc$ $\Leftrightarrow 1-2abc+2(ab+bc+ca) \le \frac 94$ $\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \le \frac 94$ $\Leftrightarrow (a+b+c)^2 \le \frac 94\Leftrightarrow a+b+c \le \frac 32$ (dpcm) ~~~~~~~~~ Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=\frac 12,y=z=\sqrt{\frac 13}$
|
|
|
|
giải đáp
|
Lâu lâu ms đăng bài :D
|
|
|
|
Cộng 3 cho 2 vế $bdt(T)\Leftrightarrow (x+y+z)\left(\frac{1}{x+y}+\frac 1{y+z}+\frac 1{z+x} \right) \ge \frac{135}{28} \quad(1)$ Chuẩn hóa $x+y+z=15$ Khi đó từ gt $\Leftrightarrow 7(x+y+z)^2=25(xy+yz+zx)\Leftrightarrow \begin{cases}xy+yz+zx=63 \\ x^2+y^2+z^2= 99\end{cases}$ $(1)\Leftrightarrow \frac{1}{x+y}+\frac 1{y+z}+\frac 1{z+x} \ge \frac{9}{28}$ $\Leftrightarrow \frac{\sum(y+z)(z+x)}{(x+y)(y+z)(z+x)} \ge \frac{9}{28}$ $\Leftrightarrow \frac{(x^2+y^2+z^2)+3(xy+yz+zx)}{(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz} \ge \frac{9}{28}$ $\Leftrightarrow xyz \ge 49$ Giả sử $z=\max \{x,y,z\}$, khi đó $z \ge 5$ Ta có $xy=\frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}{2}=\frac{(15-z)^2-(99-z^2)}{2}=z^2-15z+63$ Ta cần chứng minh $(z^2-15z+63).z \ge 49\Leftrightarrow (z-7)^2(z-1) \ge0$ (luôn đúng) Đẳng thức xảy ta $\Leftrightarrow 7x=7y=z$ và các hoán vị ~~~~~~~~~~~ $bdt(P)$ chứng minh tương tự, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=3c$và các hoán vị
|
|
|
|
giải đáp
|
giải phương trình...
|
|
|
|
Điều kiện $x \ge 1$ $pt\Leftrightarrow \biggl[(x-1)-2\sqrt{x-1}+1 \bigg]-\sqrt{x(x-1)} \biggl(\sqrt{x-1}-1 \biggr)=0$ $\Leftrightarrow (\sqrt{x-1}-1)^2-\sqrt{x(x-1)} \biggl(\sqrt{x-1}-1 \biggr)=0$ $\Leftrightarrow \biggl(\sqrt{x-1}-1\biggr)\underset{<0 \forall x \ge 1}{\underbrace{\biggl(\sqrt{x-1}-1-\sqrt{x(x-1)} \biggr)}}=0$ $\Leftrightarrow \boxed{x=2}$ |
|
|
|
giải đáp
|
giải phương trình...
|
|
|
|
Điều kiện $x \ge 1$ Áp dụng bdt cosi, ta có : $VT=\sqrt{1.\left(x-\frac 1x \right)}+\sqrt{\biggl( x-1 \biggr).\frac 1x} \le \frac 12 \Biggl(1+x-\frac 1x+\frac 1x+x-1\Biggr)=x$ Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt 5+1}{2}$ Vậy $x=\frac{\sqrt 5+1}{2}$ là nghiệm duy nhất của pt |
|
|
|
giải đáp
|
Mn ủng hộ , tạm 10 câu đã hì hì
|
|
|
|
1 Ta có $3=\frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}+\frac{x}{a+x}+\frac{y}{b+y}+\frac{z}{c+z}$ $\ge 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+x)(b+y)(c+z)}}+3\sqrt[3]{\frac{xyz}{(a+x)(b+y)(c+z)}}$ $\Leftrightarrow (\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz})^3 \le(a+x)(b+y)(c+z)$ (ok) 2 $\color{red}{Q = \frac{1}{a^4+b^2+ab^2+ab^2}+\frac{1}{b^4+a^2+a^2b+a^2b} \overset{AM-GM}\le \frac{1}{4a^2b^2}+\frac1{4a^2b^2}\\\Leftrightarrow \sqrt{2Q} \le\frac{1}{ab} \le 1 \Leftrightarrow Q \le \frac 12}$ 3 $ A\ge \frac{4}{x^2+2xy+y^2}=\frac{4}{(x+y)^2} \ge 4$ 4. $\color{red}{x+y \ge x^2+y^2 \ge \frac{(x+y)^2}2 \Leftrightarrow x+y \le 2}$ 5. Đặt $2x=a,\sqrt 3y=b,\sqrt 3z=c$ $\Leftrightarrow 4=a^2+b^2+c^2+abc$ $\Leftrightarrow \left ( \frac{a}{2} \right )^{2}+\left(\frac{b}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{c}{2} \right )^{2}+2.\frac{a}{2}.\frac{b}{2}.\frac{c}{2}=1$ $\Rightarrow$ tổn tại tam giác $ABC$ sao cho $\frac a2 = \cos A,\frac b2 = \cos B,\frac c2=\cos C$ Ta lại có $\cos A+\cos B+\cos C \le \frac 32 \Rightarrow$ dpcm
|
|
|
|
giải đáp
|
Mọi người cùng thử sức nào!
|
|
|
|
Nhận thấy $3^b-5^c+7^d$ chỉ có thể là số lẻ $\Rightarrow 2^a \hspace{1mm} \text{lẻ}\Leftrightarrow a=0$ Phương trình trở thành $3^b+7^d=5^c+1 \quad (*)$ Với $c=0$ thì $b=d=0$ tương tự xét với $b=0,d=0$ Với $b.c.d \ne0$ Bằng pp quy nạp dễ chứng minh $7^d \equiv 1(\mod3) $ $\Rightarrow 7^d+3^b \equiv 1(\mod{3}) \quad (1)$ Ta lại có $\left[ \begin{array}{l} 5^c \equiv 1(\mod 3)\\ 5^c \equiv 2(\mod 3) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5^c+1 \equiv 2 (\mod 3)\\ 5^c+1 \equiv0 (\mod3) \end{array} \right. \quad (2)$ Từ $(1),(2)\Rightarrow (*)$ vô nghiệm với $b.c.d \ne0$ Vậy ta có nghiệm duy nhất $a=b=c=d=0$ |
|
|
|
đặt câu hỏi
|
(5)
|
|
|
|
Cho $x,y,z>0$, chứng minh $$\frac{2(x+y+z)}{3} \ge\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}3}+\sqrt[3]{xyz}$$
|
|
|
|
giải đáp
|
gấp
|
|
|
|
Đk $x>0$ $pt(1)\Leftrightarrow \frac{y^2}{x}-\sqrt{\frac{y^2+2}x}=2-\frac 2x$ $\Leftrightarrow \frac{y^2+2}{x}-\sqrt{\frac{y^2+2}{x}}-2=0\Leftrightarrow \sqrt{\frac{y^2+2}{x}} =2$ $\Leftrightarrow y^2=4x-2$ Thế vào $pt(2):\sqrt{4x-1}+\sqrt[3]{2x-1}=1$ $\Leftrightarrow (\sqrt{4x-1}-1)+\sqrt[3]{2x-1}=0$ $\Leftrightarrow \frac{2(2x-1)}{\sqrt{4x-1}+1}+\sqrt[3]{2x-1}=0\Leftrightarrow 2x-1=0\Leftrightarrow x=\frac 12$ $\Rightarrow (x;y)=\{( \frac 12;0)\}$ |
|
|
|
giải đáp
|
lâu k lên,giúp bài này cái mấy chế
|
|
|
|
Ta có $\left.\begin{matrix} (x-1)^2 \ge \frac{6x-7}{9} \\ (y-2)^2 \ge \frac{12y-28}{9} \\ (z-1)^2 \ge \frac{6z-7}{9} \\ \end{matrix}\right\}\Rightarrow (x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2 \ge \tfrac{2(x+y+2)+2(z+y+2)-22}{3}$ Dùng bdt $\sqrt{a^3+1}=\sqrt{(a+1)(a^2-a+1)} \le \frac{a^2+2}{2}$ Suy ra $\frac{12}{\sqrt{(\sqrt{x+y})^3+1}} \ge \frac{24}{x+y+2}$ Tương tự cho cái kia rồi ghép cặp cosi là xong $\min P=\frac{26}3\Leftrightarrow \begin{cases}x=z=\frac 43 \\ y=\frac 83 \end{cases}$ |
|